Qua điểm O nằm ngoài đường thẳng a kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng a và cắt a tại B. Lấy hai điểm A và C nằm trên đường thẳng a và nằm về hai phía so với điểm B sao cho góc OAB =60 độ ; OCB =...

Để so sánh độ dài các đoạn thẳng \(OA\), \(OB\), và \(OC\), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các góc đặc biệt. 1. Xét tam giác \(OAB\): - Tam giác \(OAB\) là tam giác vuông tại \(B\) vì \(OB\) vuông góc với đường thẳng \(a\). - Góc \(\angle OAB = 60^\circ\). Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông, ta có: \[ \frac{OA}{OB} = \frac{1}{\sin 60^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] Do đó, \(OA = \frac{2}{\sqrt{3}} \times OB\). 2. Xét tam giác \(OCB\): - Tam giác \(OCB\) là tam giác vuông tại \(B\) vì \(OB\) vuông góc với đường thẳng \(a\). - Góc \(\angle OCB = 45^\circ\). Sử dụng định lý sin trong tam giác vuông, ta có: \[ \frac{OC}{OB} = \frac{1}{\sin 45^\circ} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2} \] Do đó, \(OC = \sqrt{2} \times OB\). 3. So sánh độ dài các đoạn thẳng: - Từ các kết quả trên, ta có: - \(OA = \frac{2}{\sqrt{3}} \times OB\) - \(OC = \sqrt{2} \times OB\) Để so sánh \(OA\) và \(OC\), ta so sánh \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) và \(\sqrt{2}\). - Tính giá trị gần đúng: - \(\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547\) - \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) Như vậy, \(\frac{2}{\sqrt{3}} < \sqrt{2}\), do đó \(OA < OC\). 4. Kết luận: - \(OA < OC\) - \(OB\) là cạnh chung và là cạnh vuông góc, nên \(OB\) ngắn hơn cả \(OA\) và \(OC\). Vậy, thứ tự độ dài các đoạn thẳng là: \(OB < OA < OC\).