Tính giá trị biểu thức.

Câu 7: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của biểu thức \(\sin\theta + \cos\theta\) khi \(\theta\) thỏa mãn điều kiện \(\tan\theta - \frac{6}{\tan\theta} = 1\). Bước 1: Giải phương trình \(\tan\theta - \frac{6}{\tan\theta} = 1\) Đặt \(x = \tan\theta\), ta có phương trình: \[ x - \frac{6}{x} = 1 \] Nhân cả hai vế với \(x\) (với điều kiện \(x \neq 0\)), ta được: \[ x^2 - 6 = x \] Chuyển vế và sắp xếp lại, ta có phương trình bậc hai: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] với \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\). Ta có: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \] Do đó, hai nghiệm là: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \] Bước 2: Xác định nghiệm phù hợp với điều kiện của \(\theta\) Vì \(\theta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)\), ta có: - Trong khoảng này, \(\tan\theta\) là âm. Do đó, nghiệm phù hợp là \(x = -2\). Bước 3: Tính \(\sin\theta + \cos\theta\) Với \(\tan\theta = -2\), ta có: \[ \sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{-2}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{-2}{\sqrt{5}} \] \[ \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Do đó: \[ \sin\theta + \cos\theta = \frac{-2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{-2 + 1}{\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} \] Rút gọn biểu thức: \[ \sin\theta + \cos\theta = \frac{-\sqrt{5}}{5} \] Nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{5}\), ta có: \[ \sin\theta + \cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} \] Vậy giá trị của biểu thức \(\sin\theta + \cos\theta\) là \(-\frac{\sqrt{10}}{5}\). Kết luận: Giá trị của biểu thức \(\sin\theta + \cos\theta\) là \(-\frac{\sqrt{10}}{5}\). Do đó, đáp án đúng là \(\textcircled{B}\).