Tìm m để đồ thị $y = x^2 - 2mx + m + 3$ tiếp xúc trục hoành.

Question

Accepted Answer

Để đồ thị hàm số $ y = x^2 - 2mx + m + 3 $ tiếp xúc với trục hoành, phương trình $ y = 0 $ phải có nghiệm kép. Điều này có nghĩa là phương trình bậc hai:

$$
x^2 - 2mx + m + 3 = 0
$$

phải có nghiệm kép. Để phương trình bậc hai có nghiệm kép, điều kiện cần và đủ là:

$$
\Delta = b^2 - 4ac = 0
$$

Với $ a = 1 $, $ b = -2m $, và $ c = m + 3 $, ta có:

$$
\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 3) = 4m^2 - 4(m + 3)
$$

Rút gọn biểu thức:

$$
\Delta = 4m^2 - 4m - 12
$$

Để $\Delta = 0$, ta giải phương trình:

$$
4m^2 - 4m - 12 = 0
$$

Chia cả hai vế cho 4:

$$
m^2 - m - 3 = 0
$$

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

$$
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Với $ a = 1 $, $ b = -1 $, $ c = -3 $, ta có:

$$
m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}
$$

$$
m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2}
$$

$$
m = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}
$$

Vậy, giá trị của $ m $ để đồ thị tiếp xúc trục hoành là $ m = \frac{1 + \sqrt{13}}{2} $ hoặc $ m = \frac{1 - \sqrt{13}}{2} $.

Tìm m để đồ thị tiếp xúc trục hoành.