Giúp mình với! Câu 1. Cho biết $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac1{\sqrt2}~thì~\sin^3\alpha+\cos^3\alpha$ bằng,$A.~\frac{3\sqrt2}8.$ $B.~\frac{\sqrt2}8.$ $C.~\frac{5\sqrt2}8.$ $D.~\frac58.$,Câu 2. Trên đường tròn lượng giác,các góc lượng giác có số đo $\frac\pi6+\frac{k2\pi}3,~k\in\mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi bao,nhiêu điểm?,A. 5 B. 2 C. 4 D. 3,Câu 3. Biết $ an a=\frac5{12}$ thì $ an(a+\frac\pi4)$ bằng:,$A.~\frac5{11}.$ $B.~-\frac{15}4.$ $C.~\frac{16}3.$ $D.~\frac{17}7.$,Câu 4. Cho biết $\sin x-\cos x=\frac12.$ Tính giá trị biểu thức $M=\sin^4x+\cos^4x.$,$A.~M=\frac{15}{20}.$ $B.~M=\frac{23}{32}.$ $C.~M=\frac45.$ $D.~M=\frac3{16}.$

Question

Giúp mình với! Câu 1. Cho biết $\sin\alpha+\cos\alpha=\frac1{\sqrt2}~thì~\sin^3\alpha+\cos^3\alpha$ bằng,$A.~\frac{3\sqrt2}8.$ $B.~\frac{\sqrt2}8.$ $C.~\frac{5\sqrt2}8.$ $D.~\frac58.$,Câu 2. Trên đường tròn lượng giác,các góc lượng giác có số đo $\frac\pi6+\frac{k2\pi}3,~k\in\mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi bao,nhiêu điểm?,A. 5 B. 2 C. 4 D. 3,Câu 3. Biết $	an a=\frac5{12}$ thì $	an(a+\frac\pi4)$ bằng:,$A.~\frac5{11}.$ $B.~-\frac{15}4.$ $C.~\frac{16}3.$ $D.~\frac{17}7.$,Câu 4. Cho biết $\sin x-\cos x=\frac12.$ Tính giá trị biểu thức $M=\sin^4x+\cos^4x.$,$A.~M=\frac{15}{20}.$ $B.~M=\frac{23}{32}.$ $C.~M=\frac45.$ $D.~M=\frac3{16}.$

Accepted Answer

Câu 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi đại số cơ bản và các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Bước 1: Tìm giá trị của $\sin\alpha \cos\alpha$.

Ta có:
$$
\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}
$$
Bình phương cả hai vế:
$$
(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2
$$
$$
\sin^2\alpha + 2\sin\alpha \cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{1}{2}
$$
Sử dụng hằng đẳng thức $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$$
1 + 2\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}
$$
$$
2\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2} - 1
$$
$$
2\sin\alpha \cos\alpha = -\frac{1}{2}
$$
$$
\sin\alpha \cos\alpha = -\frac{1}{4}
$$

Bước 2: Tính giá trị của $\sin^3\alpha + \cos^3\alpha$.

Ta sử dụng công thức:
$$
\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)(\sin^2\alpha - \sin\alpha \cos\alpha + \cos^2\alpha)
$$
Thay các giá trị đã tìm được vào công thức:
$$
\sin^3\alpha + \cos^3\alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(1 - \left(-\frac{1}{4}\right)\right)
$$
$$
= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(1 + \frac{1}{4}\right)
$$
$$
= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{5}{4}\right)
$$
$$
= \frac{5}{4\sqrt{2}}
$$
Rationalize mẫu số:
$$
= \frac{5}{4\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}
$$
$$
= \frac{5\sqrt{2}}{8}
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
\boxed{\text{C. } \frac{5\sqrt{2}}{8}}
$$

Câu 2:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định xem các góc lượng giác có số đo $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}$ với $k \in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng giác.

1. Xác định chu kỳ của góc:
   - Góc $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}$ có chu kỳ là $2\pi$ vì đây là chu kỳ của hàm lượng giác.
   - Tuy nhiên, do góc có dạng $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}$, ta cần xem xét chu kỳ nhỏ hơn có thể có. Ta thấy rằng $2\pi/3$ là một chu kỳ nhỏ hơn vì khi $k$ tăng thêm 3 đơn vị, góc sẽ quay lại vị trí ban đầu: 
     $$
     \frac{\pi}{6} + \frac{(k+3)2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}
     $$
   - Do đó, chu kỳ thực sự của dãy góc này là $2\pi/3$.

2. Tìm số điểm khác nhau trên đường tròn lượng giác:
   - Để tìm số điểm khác nhau, ta cần xác định số giá trị khác nhau của góc trong khoảng từ $0$ đến $2\pi$.
   - Xét các giá trị của $k$ từ $0$ đến $2$ (vì chu kỳ là $2\pi/3$, nên chỉ cần xét 3 giá trị liên tiếp của $k$):

- Với $k = 0$, ta có góc: $\frac{\pi}{6}$.
     - Với $k = 1$, ta có góc: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
     - Với $k = 2$, ta có góc: $\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$.

3. Kết luận:
   - Các góc $\frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6}$, và $\frac{3\pi}{2}$ là ba điểm khác nhau trên đường tròn lượng giác.
   - Do đó, các góc lượng giác có số đo $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3}$ với $k \in \mathbb{Z}$ được biểu diễn bởi 3 điểm khác nhau trên đường tròn lượng giác.

Vậy đáp án đúng là D. 3.

Câu 3:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức cộng góc cho hàm số tangente:
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
$$
Trong trường hợp này, $b = \frac{\pi}{4}$. Ta biết rằng $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.

Áp dụng công thức trên, ta có:
$$
\tan\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan a + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan a \tan \frac{\pi}{4}}
$$

Thay giá trị $\tan a = \frac{5}{12}$ và $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ vào công thức:
$$
\tan\left(a + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\frac{5}{12} + 1}{1 - \frac{5}{12} \cdot 1}
$$

Rút gọn tử số và mẫu số:
$$
= \frac{\frac{5}{12} + \frac{12}{12}}{1 - \frac{5}{12}}
$$
$$
= \frac{\frac{17}{12}}{\frac{7}{12}}
$$

Chia hai phân số:
$$
= \frac{17}{12} \cdot \frac{12}{7}
$$
$$
= \frac{17}{7}
$$

Vậy đáp án đúng là:
$$
D.~\frac{17}{7}
$$

Câu 4:
Để tính giá trị của biểu thức $ M = \sin^4 x + \cos^4 x $ khi biết rằng $ \sin x - \cos x = \frac{1}{2} $, ta thực hiện các bước sau:

1. Bình phương hai vế của phương trình đã cho:
   $$
   (\sin x - \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2
   $$
   $$
   \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{4}
   $$

2. Sử dụng công thức Pythagoras:
   $$
   \sin^2 x + \cos^2 x = 1
   $$
   Thay vào phương trình trên:
   $$
   1 - 2\sin x \cos x = \frac{1}{4}
   $$

3. Giải phương trình để tìm $ \sin x \cos x $:
   $$
   1 - \frac{1}{4} = 2\sin x \cos x
   $$
   $$
   \frac{3}{4} = 2\sin x \cos x
   $$
   $$
   \sin x \cos x = \frac{3}{8}
   $$

4. Tìm giá trị của $ \sin^4 x + \cos^4 x $:
   Ta có:
   $$
   \sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2(\sin x \cos x)^2
   $$
   Thay các giá trị đã biết:
   $$
   \sin^4 x + \cos^4 x = 1^2 - 2\left(\frac{3}{8}\right)^2
   $$
   $$
   \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{64}
   $$
   $$
   \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{18}{64}
   $$
   $$
   \sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{9}{32}
   $$
   $$
   \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{32}{32} - \frac{9}{32}
   $$
   $$
   \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{23}{32}
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $ M $ là:
$$
M = \frac{23}{32}
$$

Đáp án đúng là:
$$ B.~M=\frac{23}{32}. $$