Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài các cạnh của tam giác $\Delta ABC$ dựa trên thông tin về tam giác $\Delta DEF$ và chu vi của $\Delta ABC$. Bước 1: Xác định tỷ lệ giữa hai tam giác. Giả sử $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta DEF$ theo tỷ lệ $k$. Khi đó, các cạnh của $\Delta ABC$ sẽ là: - $AB = k \cdot DE = 3k$ - $AC = k \cdot DF = 5k$ - $BC = k \cdot EF = 7k$ Bước 2: Sử dụng thông tin về chu vi của $\Delta ABC$. Chu vi của $\Delta ABC$ là $20$ cm, do đó ta có phương trình: \[ AB + AC + BC = 20 \] Thay các giá trị đã biết vào phương trình: \[ 3k + 5k + 7k = 20 \] Bước 3: Giải phương trình để tìm $k$. \[ 15k = 20 \] \[ k = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \] Bước 4: Tính các cạnh của $\Delta ABC$. - $AB = 3k = 3 \times \frac{4}{3} = 4$ cm - $AC = 5k = 5 \times \frac{4}{3} = \frac{20}{3}$ cm - $BC = 7k = 7 \times \frac{4}{3} = \frac{28}{3}$ cm Vậy các cạnh của tam giác $\Delta ABC$ là $AB = 4$ cm, $AC = \frac{20}{3}$ cm, và $BC = \frac{28}{3}$ cm. Bài 2: Để chứng minh rằng hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ đồng dạng, ta cần chỉ ra rằng chúng có ba cặp góc tương ứng bằng nhau hoặc có ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. Dựa vào giả thiết của bài toán, ta có: 1. $A = D$ và $B = E$, do đó $\angle A = \angle D$ và $\angle B = \angle E$. 2. $AB = DE$, đây là cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Vì hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau, theo định lý đồng dạng góc-góc (AA), ta có thể kết luận rằng: $\Delta ABC \backsim \Delta DEF$. Như vậy, ta đã chứng minh được rằng hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ đồng dạng. Bài 3: Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần hiểu rằng hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ là đồng dạng, nghĩa là các cạnh tương ứng của chúng có tỷ lệ bằng nhau. Cho tam giác $\Delta ABC$ có các cạnh $AB = 6$ cm, $BC = 10$ cm, $CA = 14$ cm và chu vi là 30 cm. Ta cần tìm độ dài các cạnh của tam giác $\Delta DEF$. Vì $\Delta ABC \sim \Delta DEF$, nên tỷ lệ các cạnh tương ứng của hai tam giác là như nhau. Giả sử tỷ lệ đồng dạng là $k$, ta có: - $DE = k \cdot AB = k \cdot 6$ - $EF = k \cdot BC = k \cdot 10$ - $FD = k \cdot CA = k \cdot 14$ Chu vi của tam giác $\Delta DEF$ là $DE + EF + FD = k \cdot 6 + k \cdot 10 + k \cdot 14 = k \cdot (6 + 10 + 14) = k \cdot 30$. Vì chu vi của tam giác $\Delta DEF$ cũng là 30 cm (do hai tam giác đồng dạng và có cùng chu vi), ta có phương trình: \[ k \cdot 30 = 30 \] Giải phương trình này, ta tìm được $k = 1$. Với $k = 1$, các cạnh của tam giác $\Delta DEF$ sẽ có độ dài bằng các cạnh của tam giác $\Delta ABC$: - $DE = 6$ cm - $EF = 10$ cm - $FD = 14$ cm Vậy độ dài các cạnh của tam giác $\Delta DEF$ là 6 cm, 10 cm và 14 cm. Bài 4: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng. Khi hai tam giác đồng dạng, tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau. Cho $\Delta ABC \sim \Delta DEF$, ta có: \[ \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} \] Biết rằng $AB = 6~cm$, $BC = 9~cm$ và $EF = 10~cm$, ta thay các giá trị này vào phương trình trên: \[ \frac{6}{DE} = \frac{9}{10} \] Để tìm $DE$, ta giải phương trình này bằng cách nhân chéo: \[ 6 \times 10 = 9 \times DE \] \[ 60 = 9 \times DE \] Chia cả hai vế cho 9 để tìm $DE$: \[ DE = \frac{60}{9} \] Rút gọn phân số: \[ DE = \frac{20}{3}~cm \] Vậy độ dài cạnh $DE$ của $\Delta DEF$ là $\frac{20}{3}~cm$. Bài 5: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng. Theo đề bài, ta có $\Delta ABC \sim \Delta ABD$. Điều này có nghĩa là các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác này tỉ lệ với nhau. Từ tính chất đồng dạng, ta có: \[ \frac{AB}{AB} = \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD} \] Vì $AB$ là cạnh chung của cả hai tam giác, nên $\frac{AB}{AB} = 1$. Do đó, ta chỉ cần xét hai tỉ lệ còn lại: \[ \frac{AC}{AD} = \frac{BC}{BD} \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ \frac{16}{AD} = \frac{BC}{9} \] Để tìm $AD$, ta sử dụng tỉ lệ: \[ \frac{AB}{AB} = \frac{AC}{AD} \] Vì $AB = 12$ cm, ta có: \[ 1 = \frac{16}{AD} \] Giải phương trình này, ta tìm được $AD = 16$ cm. Bây giờ, thay $AD = 16$ cm vào tỉ lệ: \[ \frac{16}{16} = \frac{BC}{9} \] Từ đó, ta có: \[ 1 = \frac{BC}{9} \] Giải phương trình này, ta tìm được $BC = 9$ cm. Vậy, độ dài cạnh $BC$ của $\Delta ABC$ là 9 cm. Bài 6: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng tính chất của hai tam giác đồng dạng. Khi hai tam giác đồng dạng, tỉ số các cạnh tương ứng của chúng bằng nhau. Cho $\Delta ABC \sim \Delta ADE$, ta có: \[ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \] Từ đề bài, ta biết: - $AB = 6$ cm - $AC = 8$ cm - $AD = 3$ cm Ta cần tìm độ dài cạnh $DE$ của tam giác $\Delta ADE$. Sử dụng tỉ số đồng dạng giữa hai tam giác, ta có: \[ \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} \] Thay giá trị đã biết vào, ta có: \[ \frac{6}{3} = \frac{BC}{DE} \] Tính tỉ số: \[ \frac{6}{3} = 2 \] Do đó, ta có: \[ 2 = \frac{BC}{DE} \] Suy ra: \[ DE = \frac{BC}{2} \] Để tìm $BC$, ta sử dụng tỉ số đồng dạng khác: \[ \frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AD} \] Thay giá trị đã biết vào, ta có: \[ \frac{8}{AE} = \frac{6}{3} \] Tính tỉ số: \[ \frac{6}{3} = 2 \] Do đó, ta có: \[ \frac{8}{AE} = 2 \] Suy ra: \[ AE = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \] Vì $AE = AD + DE$, ta có: \[ 4 = 3 + DE \] Suy ra: \[ DE = 4 - 3 = 1 \text{ cm} \] Vậy độ dài cạnh $DE$ của tam giác $\Delta ADE$ là 1 cm. Bài 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a. Chứng minh rằng: \( AE \cdot AC = AF \cdot AB \) Chứng minh: 1. Xét tam giác \( \Delta ABE \) và \( \Delta ACF \), ta có: - \( \angle ABE = \angle ACF = 90^\circ \) (vì BE và CF là các đường cao). - \( \angle BAE = \angle CAF \) (cùng là góc của tam giác \( \Delta ABC \)). 2. Do đó, hai tam giác \( \Delta ABE \) và \( \Delta ACF \) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (AA). 3. Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có: \[ \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC} \] 4. Suy ra: \[ AE \cdot AC = AF \cdot AB \] b. Chứng minh rằng: \( \Delta DEF \sim \Delta ABC \) Chứng minh: 1. Xét tam giác \( \Delta DEF \) và \( \Delta ABC \), ta cần chứng minh rằng chúng đồng dạng. 2. Ta có: - \( \angle EDF = \angle BAC \) (cùng là góc đối đỉnh tại H). - \( \angle DEF = \angle ABC \) (vì \( \angle DEF = 180^\circ - \angle EDF - \angle DFE \) và \( \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB \)). 3. Do đó, hai tam giác \( \Delta DEF \) và \( \Delta ABC \) đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (AA). 4. Kết luận: \[ \Delta DEF \sim \Delta ABC \] Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán. Bài 8: Để chứng minh rằng $\Delta CHK \sim \Delta BCA$, ta cần chỉ ra rằng hai tam giác này đồng dạng theo một trong các trường hợp đồng dạng của tam giác: góc-góc-góc (AAA), cạnh-góc-cạnh (SAS), hoặc cạnh-cạnh-cạnh (SSS). Bước 1: Xét các góc trong hai tam giác. - Vì H và K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AD, nên ta có: - $\angle CHK = 90^\circ$ (vì CH vuông góc với AB) - $\angle CKH = 90^\circ$ (vì CK vuông góc với AD) - Trong tam giác BCA, ta có: - $\angle BAC$ là góc chung giữa hai tam giác BCA và CHK. Bước 2: So sánh các góc. - Xét $\angle CHK$ và $\angle BCA$: - $\angle CHK = 90^\circ$ và $\angle BCA$ là góc nhọn trong tam giác BCA. Tuy nhiên, ta cần tìm một góc khác để so sánh. - Xét $\angle CKH$ và $\angle BAC$: - $\angle CKH = 90^\circ$ và $\angle BAC$ là góc chung giữa hai tam giác. Bước 3: Sử dụng tính chất của hình bình hành. - Trong hình bình hành ABCD, ta có: - $\angle BAC = \angle BCA$ (vì hai góc này là góc đối đỉnh). Bước 4: Kết luận đồng dạng. - Từ các bước trên, ta có: - $\angle CHK = \angle BCA = 90^\circ$ - $\angle CKH = \angle BAC$ Do đó, theo trường hợp đồng dạng góc-góc (AA), ta có $\Delta CHK \sim \Delta BCA$. Vậy, ta đã chứng minh được rằng $\Delta CHK \sim \Delta BCA$. Bài 9: Để chứng minh đẳng thức \(AD \cdot BD = BL \cdot DC\), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và đường phân giác. Bước 1: Xét tam giác vuông ABC Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), do đó \(AH\) là đường cao từ \(A\) xuống \(BC\). Gọi \(H\) là chân đường cao, ta có: - \(AH \perp BC\) Bước 2: Xét đường phân giác BD Đường phân giác \(BD\) của tam giác \(ABC\) cắt \(AH\) tại \(I\). Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: - \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\) Bước 3: Sử dụng tính chất của đường cao và đường phân giác Trong tam giác vuông \(ABC\), đường cao \(AH\) chia cạnh huyền \(BC\) thành hai đoạn \(BH\) và \(HC\) sao cho: - \(AB^2 = BH \cdot BC\) - \(AC^2 = HC \cdot BC\) Bước 4: Chứng minh đẳng thức Ta cần chứng minh \(AD \cdot BD = BL \cdot DC\). - Theo tính chất của đường phân giác, ta có \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\). - Suy ra: \(AB \cdot DC = AC \cdot BD\). - Do đó, \(\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}\) có thể viết lại thành \(AB \cdot DC = AC \cdot BD\). - Từ đó, ta có thể suy ra: \(AD \cdot BD = BL \cdot DC\). Như vậy, ta đã chứng minh được đẳng thức \(AD \cdot BD = BL \cdot DC\) bằng cách sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường phân giác. Bài 10: Để chứng minh $ME = MF$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xét tam giác vuông: - Do $AE \perp CD$ và $AF \perp BC$, nên $AE$ và $AF$ là các đường cao của tam giác $ACD$ và $ABC$ tương ứng. - Vì $A$ là điểm chung của hai đường cao, nên $A$ là trực tâm của tam giác $BCD$. 2. Xét đường thẳng qua A vuông góc với BD: - Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $BD$ cắt $EF$ tại $M$. Do đó, $M$ là điểm đối xứng của $A$ qua $EF$. 3. Chứng minh $ME = MF$: - Vì $M$ là điểm đối xứng của $A$ qua $EF$, nên $M$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $EF$. - Do đó, $ME = MF$. Vậy, ta đã chứng minh được $ME = MF$. Bài 11: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a. Chứng minh $BDCE = \frac{BC^2}{4}$ 1. Tam giác ABC là tam giác đều, do đó BC = AB = AC. 2. M là trung điểm của BC, nên BM = MC = $\frac{BC}{2}$. 3. Xét tứ giác BDCE, ta cần chứng minh rằng diện tích của nó là $\frac{BC^2}{4}$. 4. Do góc xMy = $60^\circ$ và M là trung điểm của BC, tam giác BMC là tam giác đều với góc BMC = $60^\circ$. 5. Diện tích tam giác BMC là $\frac{1}{2} \times BM \times MC \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times \frac{BC}{2} \times \frac{BC}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC^2 \sqrt{3}}{16}$. 6. Tứ giác BDCE có diện tích bằng diện tích tam giác BMC vì góc xMy = $60^\circ$ và M là trung điểm của BC. 7. Do đó, diện tích BDCE = $\frac{BC^2}{4}$. b. Chứng minh DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED 1. Xét tam giác BDE, ta có DM là tia phân giác của góc BDE. 2. Vì M là trung điểm của BC và góc xMy = $60^\circ$, tam giác BMC là tam giác đều. 3. Do đó, DM chia góc BDE thành hai góc bằng nhau. 4. Tương tự, xét tam giác CED, ta có EM là tia phân giác của góc CED. 5. Vì M là trung điểm của BC và góc xMy = $60^\circ$, tam giác BMC là tam giác đều. 6. Do đó, EM chia góc CED thành hai góc bằng nhau. c. Chứng minh chu vi $\Delta ADE$ không đổi 1. Xét tam giác ADE, ta cần chứng minh rằng chu vi của nó không đổi khi góc xMy quay quanh M. 2. Vì M là trung điểm của BC và góc xMy = $60^\circ$, tam giác BMC là tam giác đều. 3. Do đó, các đoạn thẳng AD và AE luôn có độ dài không đổi khi góc xMy quay quanh M. 4. Vì vậy, chu vi của tam giác ADE không đổi. Với các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 12: Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a. Chứng minh $\Delta DHC \sim \Delta NHB$: 1. Xét $\Delta DHC$ và $\Delta NHB$: - Ta có $BH \perp CM$ và $HN \perp DH$, do đó $\angle BHC = \angle HND = 90^\circ$. - Xét hai góc $\angle DHC$ và $\angle NHB$: Vì $HN \perp DH$ và $BH \perp CM$, nên $\angle DHC = \angle NHB$. 2. Do đó, hai tam giác $\Delta DHC$ và $\Delta NHB$ có: - $\angle DHC = \angle NHB$ (cùng phụ với góc vuông). - $\angle HDC = \angle HNB$ (cùng phụ với góc vuông). 3. Từ đó, ta có $\Delta DHC \sim \Delta NHB$ theo trường hợp góc - góc (g-g). b. Chứng minh $\widehat{AMNB} = \widehat{NCMB}$: 1. Xét tứ giác $AMNB$ và $NCMB$: - Ta có $HN \perp DH$ và $BH \perp CM$, do đó $\angle HND = \angle BHC = 90^\circ$. 2. Xét hai góc $\angle AMN$ và $\angle NCM$: - Do $HN \perp DH$ và $BH \perp CM$, nên $\angle AMN = \angle NCM$. 3. Từ đó, ta có $\widehat{AMNB} = \widehat{NCMB}$. Như vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 13: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. a. Chứng minh $\Delta AIB \sim \Delta MCE$: 1. Xét $\Delta AIB$ và $\Delta MCE$: - Ta có $AI \perp CE$ (do $I$ là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ $B$ đến $CE$). - Ta cũng có $MK \perp AB$ và $ML \perp AC$, do đó $MK \parallel CE$ và $ML \parallel AF$. 2. Góc đồng vị và góc so le trong: - Vì $MK \parallel CE$ và $ML \parallel AF$, nên $\angle AIB = \angle MCE$ (góc đồng vị). - Ta cũng có $\angle AIB = \angle MCE$ (góc so le trong). 3. Kết luận: - Do hai góc tương ứng bằng nhau, ta có $\Delta AIB \sim \Delta MCE$ theo trường hợp góc-góc (AA). b. Chứng minh $\frac{EM}{EM} = \frac{ML}{KM}$ và $\frac{BM}{EM} = \frac{AI}{AC}$; CE đồng quy: 1. Chứng minh $\frac{EM}{EM} = \frac{ML}{KM}$: - Từ $\Delta AIB \sim \Delta MCE$, ta có $\frac{AI}{MC} = \frac{AB}{ME}$. - Do $MK \parallel CE$, ta có $\frac{ML}{KM} = \frac{AF}{AE}$. 2. Chứng minh $\frac{BM}{EM} = \frac{AI}{AC}$: - Từ $\Delta AIB \sim \Delta MCE$, ta có $\frac{BM}{EM} = \frac{AI}{AC}$. 3. Chứng minh CE đồng quy: - Do $MK \parallel CE$ và $ML \parallel AF$, các đường thẳng này cắt nhau tại điểm $E$ và $F$. - Từ đó, $CE$ đồng quy với các đường thẳng khác tại điểm $E$. Kết luận: - Chúng ta đã chứng minh được các tỉ lệ và sự đồng quy như yêu cầu của bài toán. Bài 14: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a. Chứng minh: \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\) Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần chỉ ra rằng chúng có các góc tương ứng bằng nhau. - \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), nên \(\angle BAC = 90^\circ\). - \(\Delta HBA\) cũng vuông tại \(H\), nên \(\angle BHA = 90^\circ\). Do đó, \(\angle BHA = \angle BAC = 90^\circ\). - \(\angle ABH\) là góc chung của \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\). Vậy, \(\Delta HBA \sim \Delta ABC\) theo trường hợp góc-góc (AA). b. Tính \(BC\), \(AH\), \(HH\) Tính \(BC\) Sử dụng định lý Pythagore trong \(\Delta ABC\): \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20~cm \] Tính \(AH\) Sử dụng công thức tính đường cao trong tam giác vuông: \[ AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{12 \times 16}{20} = \frac{192}{20} = 9.6~cm \] Tính \(HH\) Vì \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(BC\), ta có: \[ HH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{12^2}{20} = \frac{144}{20} = 7.2~cm \] c. Vẽ đường phân giác \(AD\) của \(\Delta ABC\), \(D \in BC\). Tính \(BD:CD\) Theo định lý đường phân giác trong tam giác, ta có: \[ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \] Vậy, tỉ số \(BD:CD = 3:4\). d. Trên \(AH\) lấy điểm \(K\) sao cho \(AK = 8.6~cm\). Từ \(K\) kẻ đường thẳng song song \(BC\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Tính \(s_{ausc}\). Vì \(KM \parallel BC\) và \(KN \parallel BC\), nên \(\Delta AKM \sim \Delta ABC\). Tỉ số đồng dạng là: \[ \frac{AK}{AH} = \frac{8.6}{9.6} = \frac{43}{48} \] Diện tích \(\Delta AKM\) là: \[ s_{AKM} = \left(\frac{43}{48}\right)^2 \times s_{ABC} \] Diện tích \(\Delta ABC\) là: \[ s_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 = 96~cm^2 \] Vậy: \[ s_{AKM} = \left(\frac{43}{48}\right)^2 \times 96 = \frac{1849}{2304} \times 96 \approx 77.04~cm^2 \] Vậy diện tích \(\Delta AKM\) là \(77.04~cm^2\). Bài 15: Để chứng minh $\Delta HBA \sim \Delta ABC$, ta cần chỉ ra rằng hai tam giác này đồng dạng với nhau. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng góc-góc (AA). 1. Xét góc chung: Trong hai tam giác $\Delta HBA$ và $\Delta ABC$, góc $\angle HBA$ là góc chung. Do đó, $\angle HBA = \angle ABC$. 2. Xét góc vuông: Tam giác $\Delta ABC$ vuông tại A, do đó $\angle BAC = 90^\circ$. Đường cao $AH$ vuông góc với $BC$, do đó $\angle BAH = 90^\circ$. Vậy, $\angle BAH = \angle BAC = 90^\circ$. 3. Kết luận đồng dạng: Từ hai bước trên, ta có hai góc tương ứng bằng nhau: - $\angle HBA = \angle ABC$ (góc chung) - $\angle BAH = \angle BAC = 90^\circ$ (góc vuông) Theo tiêu chí đồng dạng góc-góc (AA), ta có $\Delta HBA \sim \Delta ABC$. Vậy, ta đã chứng minh được rằng $\Delta HBA \sim \Delta ABC$.