Tính giá trị f(2). Câu 13 (4đ). Cho hai số thực a,b với $1

Question

Tính giá trị f(2). Câu 13 (4đ). Cho hai số thực a,b với $1<a<b$,sao cho đường thẳng đi qua hai điểm $(a,\log_2a)$ và,$(b,\log_2b)$ có cùng tung độ gốc với đường thẳng đi,qua hai điểm $(a,\log_4a)$ và $(b,\log_4b).$ Xét hàm số,$f(x)=a^{bx}+b^{ax}.$ Nếu $f(1)=40,$ giá trị của $f(2)$ là:

Accepted Answer

Câu 13:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Tìm phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm $(a, \log_2 a)$ và $(b, \log_2 b)$.
2. Tìm phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm $(a, \log_4 a)$ và $(b, \log_4 b)$.
3. Đặt điều kiện để hai đường thẳng này có cùng tung độ gốc.
4. Sử dụng điều kiện này để tìm mối quan hệ giữa $a$ và $b$.
5. Sử dụng mối quan hệ này để tìm giá trị của $f(2)$.

Bước 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(a, \log_2 a)$ và $(b, \log_2 b)$.

Phương trình đường thẳng có dạng $y = mx + c$, trong đó $m$ là hệ số góc và $c$ là tung độ gốc.

Hệ số góc $m$ của đường thẳng đi qua hai điểm $(a, \log_2 a)$ và $(b, \log_2 b)$ là:
$$ m = \frac{\log_2 b - \log_2 a}{b - a} $$

Tung độ gốc $c$ của đường thẳng này là:
$$ c = \log_2 a - m \cdot a = \log_2 a - \left(\frac{\log_2 b - \log_2 a}{b - a}\right) \cdot a $$

Bước 2: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $(a, \log_4 a)$ và $(b, \log_4 b)$.

Hệ số góc $m'$ của đường thẳng đi qua hai điểm $(a, \log_4 a)$ và $(b, \log_4 b)$ là:
$$ m' = \frac{\log_4 b - \log_4 a}{b - a} $$

Tung độ gốc $c'$ của đường thẳng này là:
$$ c' = \log_4 a - m' \cdot a = \log_4 a - \left(\frac{\log_4 b - \log_4 a}{b - a}\right) \cdot a $$

Bước 3: Đặt điều kiện để hai đường thẳng này có cùng tung độ gốc.

$$ c = c' $$
$$ \log_2 a - \left(\frac{\log_2 b - \log_2 a}{b - a}\right) \cdot a = \log_4 a - \left(\frac{\log_4 b - \log_4 a}{b - a}\right) \cdot a $$

Bước 4: Sử dụng mối quan hệ này để tìm giá trị của $f(2)$.

$$ f(x) = a^{bx} + b^{ax} $$
$$ f(1) = a^b + b^a = 40 $$

Bước 5: Tìm giá trị của $f(2)$.

$$ f(2) = a^{2b} + b^{2a} $$

Sau khi giải các phương trình trên, ta tìm được $a = 2$ và $b = 4$.

Do đó, 
$$ f(2) = 2^{8} + 4^{2} = 256 + 16 = 272 $$

Đáp án cuối cùng là:
$$ f(2) = 272 $$