(HSG 7 huyện) Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Kẻ EI vuông góc với AH tại I, tia phân giác của BAC cắt BE tại M. 1) Chứng minh: ∆ABM vuông cân. GV:...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. 1) Chứng minh: ∆ABM vuông cân. - Ta có tam giác \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), do đó \( \angle BAC = 90^\circ \). - Gọi \( D \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), ta có \( \angle BAD = \angle CAD = 45^\circ \) vì \( \Delta ABC \) vuông cân tại \( A \). - Vì \( M \) nằm trên tia phân giác của \( \angle BAC \), nên \( \angle BAM = \angle CAM \). - Do \( AE = AB \), tam giác \( \Delta ABE \) cân tại \( A \), suy ra \( \angle ABE = \angle AEB \). - Xét tam giác \( \Delta ABM \), ta có: - \( \angle BAM = \angle CAM \) (do \( M \) nằm trên tia phân giác của \( \angle BAC \)). - \( \angle ABM = \angle ABE = \angle AEB \) (do \( \Delta ABE \) cân tại \( A \)). - Do đó, tam giác \( \Delta ABM \) vuông cân tại \( A \). 2) Chứng minh: AH = EI. - Ta có \( EI \perp AH \) tại \( I \). - Xét tam giác \( \Delta AEI \) và \( \Delta AHI \): - \( \angle AEI = \angle AHI = 90^\circ \). - \( \angle AIE = \angle AHI \) (cùng phụ với \( \angle AEI \)). - Do đó, hai tam giác \( \Delta AEI \) và \( \Delta AHI \) đồng dạng (góc - góc). - Vì \( AE = AB \) và \( AB = AH \) (do \( \Delta ABC \) vuông cân tại \( A \)), suy ra \( AE = AH \). - Từ đồng dạng và \( AE = AH \), suy ra \( EI = AH \). 3) Chứng minh: \( \angle AHM = 45^\circ \). - Ta đã có \( \Delta ABM \) vuông cân tại \( A \), do đó \( \angle BAM = 45^\circ \). - Xét tam giác \( \Delta AHM \): - \( \angle AHM = \angle BAM = 45^\circ \) (do \( M \) nằm trên tia phân giác của \( \angle BAC \)). - Do đó, \( \angle AHM = 45^\circ \). Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán.