Tìm max a. Câu 19 (3đ). Cho hàm số bậc ba $f(x)$ được định nghĩa,bởi $f(x)=x^3+ax^2-(a^2-8a)x+3,$ với a là tham số,thực. Tìm giá trị lớn nhất của a để hàm số $f(x)$ đồng,biến trên $\mathbb{R}.$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 19:
Để hàm số $ f(x) = x^3 + ax^2 - (a^2 - 8a)x + 3 $ đồng biến trên $\mathbb{R}$, đạo hàm của nó $ f&#x27;(x) $ phải không âm trên toàn bộ miền xác định $\mathbb{R}$.

Bước 1: Tính đạo hàm $ f&#x27;(x) $:
$$
f&#x27;(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + ax^2 - (a^2 - 8a)x + 3)
$$
$$
f&#x27;(x) = 3x^2 + 2ax - (a^2 - 8a)
$$

Bước 2: Để hàm số $ f(x) $ đồng biến trên $\mathbb{R}$, $ f&#x27;(x) \geq 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $. Điều này xảy ra khi $ f&#x27;(x) $ là một đa thức bậc hai có biệt số $ \Delta \leq 0 $.

Bước 3: Tính biệt số $ \Delta $ của $ f&#x27;(x) $:
$$
\Delta = b^2 - 4ac
$$
Trong đó, $ a = 3 $, $ b = 2a $, và $ c = -(a^2 - 8a) $:
$$
\Delta = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot [-(a^2 - 8a)]
$$
$$
\Delta = 4a^2 + 12(a^2 - 8a)
$$
$$
\Delta = 4a^2 + 12a^2 - 96a
$$
$$
\Delta = 16a^2 - 96a
$$

Bước 4: Yêu cầu $ \Delta \leq 0 $:
$$
16a^2 - 96a \leq 0
$$
$$
16a(a - 6) \leq 0
$$

Bước 5: Giải bất phương trình:
$$
16a(a - 6) \leq 0
$$
$$
a(a - 6) \leq 0
$$

Bước 6: Xác định khoảng giá trị của $ a $:
$$
a \in [0, 6]
$$

Bước 7: Giá trị lớn nhất của $ a $ trong khoảng này là:
$$
a = 6
$$

Vậy, giá trị lớn nhất của $ a $ để hàm số $ f(x) $ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là $ a = 6 $.