Một vật dao động điều hòa với tốc độ ban đầu là 1m/s và gia tốc là -10√3 m/s2. Khi đi qua vị trí cân bằng thì vật có tốc độ là 2m/s. Phương trình dao động của vật là. Tìm pha ban đầu và giải thích cách...

Cho bài toán: Vật dao động điều hòa, có tốc độ ban đầu \( v_0 = 1 \, m/s \), gia tốc ban đầu \( a_0 = -10\sqrt{3} \, m/s^2 \). Khi đi qua vị trí cân bằng, vật có tốc độ \( v = 2 \, m/s \). Yêu cầu: Tìm phương trình dao động, pha ban đầu \(\varphi\), và giải thích cách tìm pha ban đầu. --- **Bước 1: Viết phương trình tổng quát của dao động điều hòa** Giả sử dao động theo phương trình: \[ x = A \cos(\omega t + \varphi) \] Tốc độ: \[ v = - A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] Gia tốc: \[ a = - A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi) \] --- **Bước 2: Xác định t = 0 là lúc nào?** Thông thường, khi nói tốc độ ban đầu và gia tốc ban đầu, ta hiểu t = 0 là lúc vật bắt đầu dao động. Vậy tại \( t = 0 \): \[ x(0) = A \cos \varphi \] \[ v(0) = - A \omega \sin \varphi = 1 \, m/s \] \[ a(0) = - A \omega^2 \cos \varphi = -10 \sqrt{3} \, m/s^2 \] --- **Bước 3: Từ hai phương trình tốc độ và gia tốc ban đầu tìm \(\varphi\) và \(\omega\).** Chia phương trình gia tốc cho phương trình vị trí lúc \(t=0\): \[ \frac{a(0)}{x(0)} = \frac{- A \omega^2 \cos \varphi}{A \cos \varphi} = -\omega^2 \] Do đó: \[ \omega^2 = -\frac{a(0)}{x(0)} \] Nhưng ta chưa biết \(x(0)\) và \(\omega\). Ta có 2 ẩn: \(A \cos \varphi = x(0)\) và \(A \sin \varphi\) ẩn trong \(v(0)\). --- **Bước 4: Viết hệ phương trình từ các biểu thức tại \( t=0 \):** \[ v(0) = -A \omega \sin \varphi = 1 \Rightarrow \sin \varphi = - \frac{1}{A \omega} \] \[ a(0) = - A \omega^2 \cos \varphi = -10 \sqrt{3} \Rightarrow \cos \varphi = \frac{10 \sqrt{3}}{A \omega^2} \] --- **Bước 5: Áp dụng điều kiện \(\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1\):** \[ \left(-\frac{1}{A \omega}\right)^2 + \left(\frac{10 \sqrt{3}}{A \omega^2}\right)^2 = 1 \] \[ \frac{1}{A^2 \omega^2} + \frac{100 \times 3}{A^2 \omega^4} = 1 \] \[ \frac{1}{A^2 \omega^2} + \frac{300}{A^2 \omega^4} = 1 \] Nhân cả hai vế với \(A^2 \omega^4\): \[ \omega^2 + 300 = A^2 \omega^4 \] --- **Bước 6: Sử dụng thêm thông tin khi vật đi qua vị trí cân bằng (x=0) thì tốc độ \(v = 2\) m/s.** Khi qua vị trí cân bằng: \[ x = 0 \Rightarrow \cos(\omega t + \varphi) = 0 \Rightarrow \omega t + \varphi = \frac{\pi}{2} \text{ hoặc } \frac{3\pi}{2}, \dots \] Tại thời điểm đó: \[ v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] Với \(\cos(\theta) = 0 \Rightarrow \sin(\theta) = \pm 1\) Tốc độ tuyệt đối tại vị trí cân bằng là: \[ |v| = A \omega \] Vì \(v = 2\), nên: \[ A \omega = 2 \] --- **Bước 7: Quay lại phương trình ở bước 5:** \[ \omega^2 + 300 = A^2 \omega^4 \] Nhưng \(A \omega = 2 \Rightarrow A = \frac{2}{\omega}\). Thay vào: \[ \omega^2 + 300 = \left(\frac{2}{\omega}\right)^2 \omega^4 = 4 \omega^2 \] Suy ra: \[ \omega^2 + 300 = 4 \omega^2 \] \[ 300 = 3 \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = 100 \Rightarrow \omega = 10 \, (rad/s) \] --- **Bước 8: Tìm biên độ \(A\):** \[ A = \frac{2}{\omega} = \frac{2}{10} = 0.2 \, m \] --- **Bước 9: Tìm \(\sin \varphi\) và \(\cos \varphi\):** \[ \sin \varphi = - \frac{1}{A \omega} = -\frac{1}{0.2 \times 10} = -\frac{1}{2} = -0.5 \] \[ \cos \varphi = \frac{10 \sqrt{3}}{A \omega^2} = \frac{10 \sqrt{3}}{0.2 \times 100} = \frac{10 \sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \] --- **Bước 10: Tìm \(\varphi\) từ \(\sin \varphi\) và \(\cos \varphi\):** \[ \sin \varphi = -0.5, \quad \cos \varphi = 0.866 \] \(\varphi\) nằm ở góc có cos dương và sin âm, tức là góc thuộc góc thứ 4: \[ \varphi = -\frac{\pi}{6} \quad (\text{hoặc } \varphi = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}) \] --- **Kết luận:** Phương trình dao động là: \[ x = 0.2 \cos(10 t - \frac{\pi}{6}) \] --- **Giải thích cách tìm pha ban đầu \(\varphi\):** - Từ điều kiện ban đầu về tốc độ và gia tốc, ta viết biểu thức \(v(0)\) và \(a(0)\) theo \(A, \omega, \varphi\). - Sử dụng công thức \(\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1\) để thiết lập phương trình liên hệ giữa \(A\) và \(\omega\). - Sử dụng điều kiện tốc độ tại vị trí cân bằng để xác định \(A \omega\). - Giải hệ phương trình tìm được \(\omega, A\). - Cuối cùng, thay các giá trị này vào biểu thức tốc độ và gia tốc để tìm \(\sin \varphi, \cos \varphi\) và xác định \(\varphi\). --- **Đáp số:** \[ x = 0.2 \cos(10 t - \frac{\pi}{6}) \quad (m) \] \[ \varphi = -\frac{\pi}{6} \]