Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... (HSG 7 huyện)Cho tam giác ABC vuông tại A , có $C=\frac12B.$ Kẻ $AH\bot BC$ tại H . Trên tia,CH lấy điểm D sao cho $HD=HB.$ Từ C kẻ đường thẳng CE vuông góc với đường thẳng,AD tại E.,a) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao?,b) Chứng minh rằng: $AD=CD;DE=DH;HE//AC.$

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một cách chi tiết.

a) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao?

Ta có tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $, và $ C = \frac{1}{2}B $. Điều này có nghĩa là góc $ C $ bằng một nửa góc $ B $.

Trong tam giác vuông $ ABC $, ta có:
- $ \angle BAC = 90^\circ - \angle ABC - \angle ACB $.

Do $ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle ABC $, ta có:
- $ \angle ABC = 2 \angle ACB $.

Vì $ \angle BAC = 90^\circ - \angle ABC - \angle ACB $, thay vào ta được:
- $ \angle BAC = 90^\circ - 2 \angle ACB - \angle ACB = 90^\circ - 3 \angle ACB $.

Do đó, $ \angle BAC = 90^\circ - 3 \times \frac{1}{2} \angle ABC = 90^\circ - \frac{3}{2} \angle ABC $.

Vì $ \angle ABC = 2 \angle ACB $, ta có:
- $ \angle ACB = \frac{1}{3} \times 90^\circ = 30^\circ $.

Vậy $ \angle ABC = 60^\circ $.

Trong tam giác $ ABD $, ta có:
- $ \angle ABD = \angle ABC = 60^\circ $.

Vì $ \angle ADB = 90^\circ $ (do $ AH \bot BC $), nên:
- $ \angle BAD = 180^\circ - \angle ABD - \angle ADB = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ $.

Vậy tam giác $ ABD $ là tam giác vuông cân tại $ A $ vì có $ \angle BAD = 30^\circ $ và $ \angle ABD = 60^\circ $.

b) Chứng minh rằng: $ AD = CD; DE = DH; HE // AC $.

1. Chứng minh $ AD = CD $:

Vì $ HD = HB $ và $ H $ là trung điểm của $ BD $ (do $ HD = HB $), nên $ D $ là điểm đối xứng của $ B $ qua $ H $.

Do đó, $ AD = CD $ vì $ D $ nằm trên tia $ CH $ và $ H $ là trung điểm của $ BD $.

2. Chứng minh $ DE = DH $:

Vì $ CE \bot AD $ và $ AH \bot BC $, nên $ CE \parallel AH $.

Do đó, $ \triangle AHD $ và $ \triangle CED $ là hai tam giác vuông có cạnh huyền chung $ AD = CD $.

Vì $ \triangle AHD $ và $ \triangle CED $ có cạnh huyền bằng nhau và góc vuông tương ứng, nên chúng đồng dạng.

Do đó, $ DE = DH $.

3. Chứng minh $ HE // AC $:

Vì $ CE \bot AD $ và $ AH \bot BC $, nên $ CE \parallel AH $.

Do đó, $ HE \parallel AC $ vì $ HE $ là đường thẳng nối từ $ E $ song song với $ AC $.

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.