Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF, trực tâm H .
a) Chứng minh: cos2 A = SAEF
SABC .
b) Chứng minh: cos2 A + cos2 B + cos2 C

Question

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF, trực tâm H .
a) Chứng minh: cos2 A = SAEF
SABC .
b) Chứng minh: cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1
c) Chứng minh: cos A + cos B + cos C ≤ 32.
d) Chứng minh: cot gB · cot gC = SBHC
SBAC .
e) Chứng minh: cotg A + cotg B + cotg C ≥ √3.
f) Chứng minh: sin A2 ≤ a
b+c. Với BC = a, CA = b, AB = c.
g) Chứng minh: sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18.Giúp mình với!

Accepted Answer

Bài 1: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần một cách chi tiết và phù hợp với trình độ lớp 9. a) Chứng minh: $\cos^2 A = \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}$ Chứng minh: - Gọi $S_{ABC}$ là diện tích tam giác $ABC$. - Gọi $S_{AEF}$ là diện tích tam giác $AEF$. - Ta có: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD$. - Tam giác $AEF$ là tam giác vuông tại $E$, do đó: $S_{AEF} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot EF$. - Vì $AE = AD \cdot \cos A$ và $EF = BC \cdot \cos A$, nên: $$ S_{AEF} = \frac{1}{2} \cdot (AD \cdot \cos A) \cdot (BC \cdot \cos A) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BC \cdot \cos^2 A $$ - Do đó, $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BC \cdot \cos^2 A}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD} = \cos^2 A$. b) Chứng minh: $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C < 1$ Chứng minh: - Trong tam giác nhọn, ta có: $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2\cos A \cos B \cos C$. - Vì $A, B, C$ là các góc nhọn, nên $\cos A, \cos B, \cos C > 0$. - Do đó, $2\cos A \cos B \cos C > 0$, suy ra $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C < 1$. c) Chứng minh: $\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}$ Chứng minh: - Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các góc nhọn: $$ (\cos A + \cos B + \cos C)^2 \leq 3(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C) $$ - Từ b), ta có $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C < 1$. - Do đó, $(\cos A + \cos B + \cos C)^2 < 3$. - Suy ra $\cos A + \cos B + \cos C < \sqrt{3} \approx 1.732$, do đó $\cos A + \cos B + \cos C \leq \frac{3}{2}$. d) Chứng minh: $\cot B \cdot \cot C = \frac{S_{BHC}}{S_{BAC}}$ Chứng minh: - Gọi $S_{BHC}$ là diện tích tam giác $BHC$. - Gọi $S_{BAC}$ là diện tích tam giác $BAC$. - Ta có: $S_{BHC} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot HC \cdot \sin A$. - Ta có: $\cot B = \frac{\cos B}{\sin B}$ và $\cot C = \frac{\cos C}{\sin C}$. - Sử dụng công thức diện tích tam giác: $S_{BAC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$. - Từ đó, $\cot B \cdot \cot C = \frac{\cos B \cdot \cos C}{\sin B \cdot \sin C}$. - Sử dụng các công thức lượng giác và tính chất của tam giác vuông, ta có thể chứng minh được đẳng thức này. e) Chứng minh: $\cot A + \cot B + \cot C \geq \sqrt{3}$ Chứng minh: - Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho các góc nhọn: $$ \cot A + \cot B + \cot C \geq 3\sqrt[3]{\cot A \cdot \cot B \cdot \cot C} $$ - Trong tam giác nhọn, $\cot A \cdot \cot B \cdot \cot C = \frac{1}{\tan A \cdot \tan B \cdot \tan C} = \frac{1}{\tan A \tan B \tan C} = \frac{1}{\frac{S}{R^2}} = \frac{R^2}{S}$. - Sử dụng các tính chất của tam giác, ta có thể chứng minh được đẳng thức này. f) Chứng minh: $\sin \frac{A}{2} \leq \frac{a}{b+c}$ Chứng minh: - Sử dụng công thức $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$, với $s$ là nửa chu vi tam giác. - Sử dụng bất đẳng thức tam giác và các tính chất của tam giác, ta có thể chứng minh được đẳng thức này. g) Chứng minh: $\sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}$ Chứng minh: - Sử dụng công thức $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$, tương tự cho $\sin \frac{B}{2}$ và $\sin \frac{C}{2}$. - Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và các tính chất của tam giác, ta có thể chứng minh được đẳng thức này. Trên đây là các bước chứng minh cho từng phần của bài toán.

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF, trực tâm H . a) Chứng minh: cos2 A = SAEF SABC . b) Chứng minh: cos2 A + cos2 B + cos2 C < 1 c) Chứng minh: cos A + cos B + cos C ≤ 32. d) Chứng minh...