Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên

Question

Accepted Answer

Để chứng minh tứ giác $BEDC$ là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác cân $ABC$:
   - Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$, nên $AB = AC$.

2. Xét các đường phân giác $BD$ và $CE$:
   - $BD$ là phân giác của góc $ABC$, do đó $\angle ABD = \angle CBD$.
   - $CE$ là phân giác của góc $ACB$, do đó $\angle ACE = \angle BCE$.

3. Chứng minh $BEDC$ là hình thang:
   - Ta cần chứng minh rằng $BD \parallel CE$.
   - Vì $\angle ABD = \angle CBD$ và $\angle ACE = \angle BCE$, nên $\angle ABD + \angle ACE = \angle CBD + \angle BCE$.
   - Do đó, $\angle BDC = \angle CEB$, suy ra $BD \parallel CE$.

4. Chứng minh $BEDC$ là hình thang cân:
   - Ta đã có $BD \parallel CE$, nên $BEDC$ là hình thang.
   - Xét tam giác $ABD$ và tam giác $ACE$:
     - $AB = AC$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$).
     - $\angle ABD = \angle ACE$ (do $BD$ và $CE$ là các đường phân giác).
     - Do đó, tam giác $ABD$ và tam giác $ACE$ đồng dạng.
   - Suy ra $BD = CE$.

5. Kết luận:
   - Tứ giác $BEDC$ là hình thang cân với $BD \parallel CE$ và $BD = CE$.
   - Do đó, $BEDC$ là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Vậy, tứ giác $BEDC$ là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.