Chứng minh AE là phân giác trong tại đỉnh A của tam giác ABC nếu: (ảnh dưới) Cho $\Delta ABC$ có $AB

Question

Chứng minh AE là phân giác trong tại đỉnh A của tam giác ABC nếu: (ảnh dưới) Cho $\Delta ABC$ có $AB<AC.$ Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho $CD=AB.$ Hai đường trung trực,của BD, AC cắt nhau tại E.

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ AE $ là phân giác trong tại đỉnh $ A $ của tam giác $ \Delta ABC $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xét tam giác $ \Delta ABC $:
   - Giả thiết cho biết $ AB < AC $.
   - Trên cạnh $ AC $, lấy điểm $ D $ sao cho $ CD = AB $.

2. Xét các đường trung trực:
   - Đường trung trực của đoạn thẳng $ BD $ và đường trung trực của đoạn thẳng $ AC $ cắt nhau tại điểm $ E $.

3. Tính chất của đường trung trực:
   - Điểm $ E $ nằm trên đường trung trực của $ BD $ nên $ EB = ED $.
   - Điểm $ E $ nằm trên đường trung trực của $ AC $ nên $ EA = EC $.

4. Chứng minh $ AE $ là phân giác:
   - Ta có $ EB = ED $ và $ EA = EC $.
   - Xét hai tam giác $ \Delta ABE $ và $ \Delta CDE $:
     - $ EA = EC $ (do $ E $ nằm trên đường trung trực của $ AC $).
     - $ EB = ED $ (do $ E $ nằm trên đường trung trực của $ BD $).
     - $ \angle AEB = \angle CED $ (góc đối đỉnh).

- Do đó, hai tam giác $ \Delta ABE $ và $ \Delta CDE $ bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c).

5. Kết luận:
   - Vì hai tam giác $ \Delta ABE $ và $ \Delta CDE $ bằng nhau, nên $ \angle BAE = \angle CAE $.
   - Do đó, $ AE $ là phân giác của góc $ \angle BAC $.

Vậy, $ AE $ là phân giác trong tại đỉnh $ A $ của tam giác $ \Delta ABC $.