Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng $AI \perp BM$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $AI \perp BM$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chứng minh điều kiện cần

Giả sử tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Khi đó, $AB = AC$ và $\angle BAC = 90^\circ$.

- Do $M$ là trung điểm của $BC$, nên $BM = MC$.
- Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, nên $I$ là trung điểm của $AH$, trong đó $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$.
- Do đó, $AI$ là đường trung tuyến và cũng là đường cao của tam giác $ABC$, nên $AI \perp BC$.
- Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $BM$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.
- Do đó, $AI \perp BM$.

Bước 2: Chứng minh điều kiện đủ

Giả sử $AI \perp BM$.

- Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $BM = MC$.
- Do $AI \perp BM$, nên $AI$ là đường cao của tam giác $ABM$.
- Vì $AI$ cũng là đường trung tuyến của tam giác $ABC$, nên tam giác $ABC$ phải là tam giác cân tại $A$.
- Do đó, $AB = AC$.
- Vì $AI$ là đường cao, nên $\angle BAC = 90^\circ$.

Từ hai bước trên, ta kết luận rằng $AI \perp BM$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.