Tính tổng các phần tử chung. Câu 4. Cho 2 cấp số cộng $\{a_n\}$ và $\{b_n\}.$ Giá trị của một vài phần tử trong hai cấp số được liệt kê ở bảng dưới:,

n,1,2,...,101
an,3,7,...,403
"b,,",2,5,...,401

,Tính tổng các phần tử chung của 2 cấp số cộng đó.

Question

Tính tổng các phần tử chung. Câu 4. Cho 2 cấp số cộng $\{a_n\}$ và $\{b_n\}.$ Giá trị của một vài phần tử trong hai cấp số được liệt kê ở bảng dưới:,

n,1,2,...,101
an,3,7,...,403
"b,,",2,5,...,401

,Tính tổng các phần tử chung của 2 cấp số cộng đó.

Accepted Answer

Ta có:

Cấp số cộng $\{a_n\}$: $a_1 = 3$, công sai $d_a = 4$.

$\Rightarrow a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1$ (với $1 \le n \le 101$).

Cấp số cộng $\{b_m\}$: $b_1 = 2$, công sai $d_b = 3$.

$\Rightarrow b_m = 2 + (m-1) \cdot 3 = 3m - 1$ (với $1 \le m \le 134$).

Gọi $x$ là phần tử chung của hai dãy, ta có:

$x = 4n - 1 = 3m - 1 \Leftrightarrow 4n = 3m$.

Do $ ext{ƯCLN}(3, 4) = 1$, suy ra nghiệm của phương trình có dạng:

$\begin{cases} n = 3k \ m = 4k \end{cases}$ (với $k \in \mathbb{Z}^+$).

$\begin{cases} 1 \le 3k \le 101 \ 1 \le 4k \le 134 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} k \le 33,6... \ k \le 33,5 \end{cases}$

Vì $k$ là số nguyên dương nên $1 \le k \le 33$.

Vậy có 33 phần tử chung.

Các phần tử chung tạo thành một cấp số cộng $\{c_k\}$ với số hạng tổng quát $c_k = 4b\cdot 3k - 1 = 12k - 1$.

Số hạng chung đầu tiên: $c_1 = 12 \cdot 1 - 1 = 11$.

Số hạng chung cuối cùng: $c_{33} = 12 \cdot 33 - 1 = 395$.

Tổng các phần tử chung là:

$S = \frac{33}{2}(c_1 + c_{33}) = \frac{33}{2}(11 + 395) = \frac{33}{2} \cdot 406 = 6699$.