Tính giá trị x(1).

Câu 6: Phương trình vi phân đã cho là \((t+1)dx=(2x+(t+1)^3)dt\). Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng \(P(t)x + Q(t)\). Chia cả hai vế cho \(t+1\) ta được: \[ dx/dt = \frac{2x}{t+1} + (t+1)^2 \] Ta có \(P(t) = -\frac{2}{t+1}\) và \(Q(t) = (t+1)^2\). Tích phân \(P(t)\): \[ \int P(t) dt = \int -\frac{2}{t+1} dt = -2 \ln|t+1| = -2 \ln(t+1) \quad (\text{vì } t > -1) \] Nhân tử tích phân \(u(t)\): \[ u(t) = e^{\int P(t) dt} = e^{-2 \ln(t+1)} = (t+1)^{-2} \] Nhân phương trình vi phân với \(u(t)\): \[ (t+1)^{-2} dx/dt - 2(t+1)^{-3} x = 1 \] Biến đổi thành: \[ d/dt [ (t+1)^{-2} x ] = 1 \] Tích phân hai vế theo \(t\): \[ (t+1)^{-2} x = t + C \] Nhân cả hai vế với \((t+1)^2\): \[ x = (t+1)^2 (t + C) \] Sử dụng điều kiện ban đầu \(x(0) = 2\): \[ 2 = (0+1)^2 (0 + C) \] \[ 2 = C \] Do đó, nghiệm của phương trình vi phân là: \[ x = (t+1)^2 (t + 2) \] Giá trị của \(x(1)\) là: \[ x(1) = (1+1)^2 (1 + 2) = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \] Đáp án: Giá trị của \(x(1)\) là 12.