Cho tôi đáp án câu 1

Câu 1: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta cần tìm các giá trị còn lại của góc \(\alpha\) dựa trên các giá trị đã cho của các hàm lượng giác và khoảng giá trị của \(\alpha\). Dưới đây là cách giải cho từng phần: a. \(\cos\alpha = \frac{1}{4}; -\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\) - Điều kiện \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\) cho biết \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ tư. - Trong góc phần tư thứ tư, \(\cos\alpha\) dương, \(\sin\alpha\) âm, và \(\tan\alpha\) âm. - Sử dụng công thức \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), ta có: \[ \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \] - Do \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ tư, \(\sin\alpha\) âm, nên: \[ \sin\alpha = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4} \] - Tính \(\tan\alpha\): \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = -\sqrt{15} \] b. \(\sin\alpha = -\frac{3}{7}; \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) - Điều kiện \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\) cho biết \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ ba. - Trong góc phần tư thứ ba, \(\sin\alpha\) âm, \(\cos\alpha\) âm, và \(\tan\alpha\) dương. - Sử dụng công thức \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\), ta có: \[ \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{3}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49} \] - Do \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ ba, \(\cos\alpha\) âm, nên: \[ \cos\alpha = -\sqrt{\frac{40}{49}} = -\frac{\sqrt{40}}{7} = -\frac{2\sqrt{10}}{7} \] - Tính \(\tan\alpha\): \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{-\frac{3}{7}}{-\frac{2\sqrt{10}}{7}} = \frac{3}{2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{20} \] c. \(\tan\alpha = -\frac{3}{5}; \frac{3\pi}{2} \leq \alpha \leq 2\pi\) - Điều kiện \(\frac{3\pi}{2} \leq \alpha \leq 2\pi\) cho biết \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ tư. - Trong góc phần tư thứ tư, \(\tan\alpha\) âm, \(\sin\alpha\) âm, và \(\cos\alpha\) dương. - Sử dụng công thức \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), ta có: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 = \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{9}{25}\cos^2\alpha \] \[ \frac{9}{25}\cos^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{34}{25}\cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = \frac{25}{34} \] - Do \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ tư, \(\cos\alpha\) dương, nên: \[ \cos\alpha = \sqrt{\frac{25}{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}} \] - Tính \(\sin\alpha\): \[ \sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = -\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{34}} = -\frac{3}{\sqrt{34}} \] d. \(\cot\alpha = 2; 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) - Điều kiện \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) cho biết \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ nhất. - Trong góc phần tư thứ nhất, \(\cot\alpha\) dương, \(\sin\alpha\) dương, và \(\cos\alpha\) dương. - Sử dụng công thức \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), ta có: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \left(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)^2 = 2^2 = 4 \] \[ \cos^2\alpha = 4\sin^2\alpha \] \[ 4\sin^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \] \[ 5\sin^2\alpha = 1 \] \[ \sin^2\alpha = \frac{1}{5} \] - Do \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ nhất, \(\sin\alpha\) dương, nên: \[ \sin\alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \] - Tính \(\cos\alpha\): \[ \cos\alpha = \cot\alpha \cdot \sin\alpha = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] Vậy, các giá trị còn lại của góc \(\alpha\) là: - a. \(\sin\alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}\), \(\tan\alpha = -\sqrt{15}\) - b. \(\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{10}}{7}\), \(\tan\alpha = \frac{3\sqrt{10}}{20}\) - c. \(\cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{34}}\), \(\sin\alpha = -\frac{3}{\sqrt{34}}\) - d. \(\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\), \(\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}\)