Giúp mình với!

Câu 8: Để chứng minh $MN \bot CD$ trong hình thang cân $ABCD$ với $AB // CD$, ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố cơ bản của hình thang cân: - Hình thang cân $ABCD$ có hai cạnh đáy song song là $AB$ và $CD$. - Trung điểm $M$ của $AB$ và trung điểm $N$ của $CD$. 2. Tính chất của hình thang cân: - Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau, tức là $AC = BD$. - Hai góc kề một cạnh bên bằng nhau, tức là $\angle BAD = \angle ABC$ và $\angle CDA = \angle DBC$. 3. Chứng minh $MN \bot CD$: - Do $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$, nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$. - Đường trung bình của hình thang có tính chất song song với hai đáy và bằng nửa tổng độ dài hai đáy. Tuy nhiên, trong hình thang cân, đường trung bình còn có tính chất đặc biệt là vuông góc với hai cạnh bên. - Vì $AB // CD$ và $MN$ là đường trung bình, nên $MN$ song song với $AB$ và $CD$. - Do đó, $MN$ vuông góc với hai cạnh bên $AD$ và $BC$ của hình thang cân. 4. Kết luận: - Từ các tính chất trên, ta có $MN \bot CD$. Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $MN \bot CD$ trong hình thang cân $ABCD$. Câu 9: Để chứng minh tứ giác \(EMNF\) là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng \(EMNF\) có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau. 1. Chứng minh \(EM \parallel NF\): - Vì \(M\) là trung điểm của \(AE\) và \(N\) là trung điểm của \(AF\), theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có: \[ MN \parallel EF \quad \text{và} \quad MN = \frac{1}{2}EF \] - Do \(\Delta AEF\) cân tại \(A\), nên \(AE = AF\). Điều này dẫn đến \(EM = NF\) vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AE\) và \(AF\) tương ứng. 2. Chứng minh \(EM = NF\): - Như đã lập luận ở trên, vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AE\) và \(AF\), nên: \[ EM = \frac{1}{2}AE \quad \text{và} \quad NF = \frac{1}{2}AF \] - Do \(AE = AF\) (vì \(\Delta AEF\) cân tại \(A\)), ta có: \[ EM = NF \] 3. Kết luận: - Từ hai bước trên, ta có \(EM \parallel NF\) và \(EM = NF\). Do đó, tứ giác \(EMNF\) có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau, nên \(EMNF\) là hình thang cân. Vậy, tứ giác \(EMNF\) là hình thang cân. Câu 10: Để chứng minh tứ giác HFEK là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng HFEK là hình thang và hai cạnh bên của nó bằng nhau. 1. Chứng minh HFEK là hình thang: - Ta có $\Delta IHK$ cân tại I, do đó $IH = IK$. - HE và KF là hai đường cao của tam giác $\Delta IHK$, do đó HE vuông góc với IK và KF vuông góc với IH. - Vì HE vuông góc với IK và KF vuông góc với IH, nên HE // KF (vì hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau). Vậy tứ giác HFEK có hai cạnh đối song song (HE // KF), nên HFEK là hình thang. 2. Chứng minh HFEK là hình thang cân: - Trong tam giác cân $\Delta IHK$, hai đường cao HE và KF cũng là hai đường trung tuyến, do đó $IE = IF$. - Vì HE // KF và $IE = IF$, nên tứ giác HFEK có hai cạnh bên bằng nhau. Vậy tứ giác HFEK là hình thang cân. Câu 11: Để chứng minh tứ giác \( MFEN \) là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng \( MF \parallel EN \) và hai cạnh bên \( ME \) và \( NF \) bằng nhau. 1. Chứng minh \( MF \parallel EN \): - Vì \( \Delta AMN \) cân tại \( A \), nên \( AM = AN \). - Đường phân giác \( ME \) của góc \( \angle AMN \) và đường phân giác \( NF \) của góc \( \angle ANM \) chia các góc này thành hai phần bằng nhau. - Do đó, ta có: \[ \angle AME = \angle EMN \quad \text{và} \quad \angle ANF = \angle FNM \] - Xét tứ giác \( MFEN \), ta có: \[ \angle EMF = \angle ENF \] - Vì \( \angle EMF = \angle ENF \), nên hai góc này là hai góc so le trong của hai đường thẳng \( MF \) và \( EN \) cắt nhau bởi đường thẳng \( MN \). - Do đó, \( MF \parallel EN \). 2. Chứng minh \( ME = NF \): - Vì \( ME \) và \( NF \) lần lượt là các đường phân giác của các góc \( \angle AMN \) và \( \angle ANM \) trong tam giác cân \( \Delta AMN \), nên: \[ ME = NF \] - Điều này là do trong tam giác cân, các đường phân giác của hai góc ở đáy bằng nhau. 3. Kết luận: - Tứ giác \( MFEN \) có hai cạnh đối song song \( MF \parallel EN \) và hai cạnh bên \( ME = NF \). - Do đó, tứ giác \( MFEN \) là hình thang cân. Vậy, tứ giác \( MFEN \) là hình thang cân.