Câu 9 nhé.

Câu 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của bài toán này là \( x^2 + y^2 = 1 \). Đây là phương trình đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 1. Bước 2: Biến đổi biểu thức \( P \) - Ta có \( P = x + y \). Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz - Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong không gian hai chiều phát biểu rằng: \[ (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2)^2 \] - Trong trường hợp này, ta chọn \( x_1 = x \), \( x_2 = y \), \( y_1 = 1 \), \( y_2 = 1 \): \[ (x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) \geq (x \cdot 1 + y \cdot 1)^2 \] \[ 1 \cdot 2 \geq (x + y)^2 \] \[ 2 \geq (x + y)^2 \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \) - Từ bất đẳng thức trên, ta có: \[ -\sqrt{2} \leq x + y \leq \sqrt{2} \] - Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \) và giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \). Bước 5: Kiểm tra các giá trị đạt được - Để kiểm tra giá trị lớn nhất \( \sqrt{2} \) đạt được khi nào, ta giải hệ phương trình: \[ x + y = \sqrt{2} \] \[ x^2 + y^2 = 1 \] - Thay \( y = \sqrt{2} - x \) vào phương trình thứ hai: \[ x^2 + (\sqrt{2} - x)^2 = 1 \] \[ x^2 + 2 - 2\sqrt{2}x + x^2 = 1 \] \[ 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 1 \] \[ 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{4} \] \[ x = \frac{2\sqrt{2}}{4} \] \[ x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Vậy \( y = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Tương tự, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Câu 9: Để giải bài toán này, ta cần tìm tâm sai của hyperbol và ellipse đã cho, sau đó thiết lập mối quan hệ giữa chúng để tìm giá trị của \(\theta\). Bước 1: Tìm tâm sai của hyperbol Phương trình của hyperbol là: \[ x^2 - y^2 \csc^2 \theta = 5 \] Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn của hyperbol: \[ \frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{5 \sin^2 \theta} = 1 \] Từ đây, ta xác định được \(a^2 = 5\) và \(b^2 = \frac{5}{\sin^2 \theta}\). Tâm sai của hyperbol \(e_H\) được tính bằng công thức: \[ e_H = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{5}{5 \sin^2 \theta}} = \sqrt{1 + \frac{1}{\sin^2 \theta}} \] Bước 2: Tìm tâm sai của ellipse Phương trình của ellipse là: \[ x^2 \csc^2 \theta + y^2 = 5 \] Viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn của ellipse: \[ \frac{x^2}{5 \sin^2 \theta} + \frac{y^2}{5} = 1 \] Từ đây, ta xác định được \(a^2 = 5 \sin^2 \theta\) và \(b^2 = 5\). Tâm sai của ellipse \(e_e\) được tính bằng công thức: \[ e_e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{5}{5 \sin^2 \theta}} = \sqrt{1 - \frac{1}{\sin^2 \theta}} \] Bước 3: Thiết lập mối quan hệ giữa \(e_H\) và \(e_e\) Theo đề bài, ta có: \[ e_H = \sqrt{7} e_e \] Thay các biểu thức của \(e_H\) và \(e_e\) vào, ta có: \[ \sqrt{1 + \frac{1}{\sin^2 \theta}} = \sqrt{7} \sqrt{1 - \frac{1}{\sin^2 \theta}} \] Bình phương hai vế, ta được: \[ 1 + \frac{1}{\sin^2 \theta} = 7 \left(1 - \frac{1}{\sin^2 \theta}\right) \] Giải phương trình này: \[ 1 + \frac{1}{\sin^2 \theta} = 7 - \frac{7}{\sin^2 \theta} \] \[ 1 + \frac{1}{\sin^2 \theta} + \frac{7}{\sin^2 \theta} = 7 \] \[ 1 + \frac{8}{\sin^2 \theta} = 7 \] \[ \frac{8}{\sin^2 \theta} = 6 \] \[ \sin^2 \theta = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] Tuy nhiên, \(\sin^2 \theta\) không thể lớn hơn 1, do đó không có giá trị thực của \(\theta\) thỏa mãn điều kiện này. Có thể có lỗi trong việc thiết lập phương trình hoặc điều kiện ban đầu. Vui lòng kiểm tra lại các điều kiện hoặc thông tin đề bài.