Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác. Chứng minh BCHK là hình thang cân

Question

Trần An · Accepted Answer

{"userId":5071321,"userName":"quýtt"}

Vì tam giác ABC cân tại A

=> AB = AC

Vì BH ⊥ AC và CK ⊥ AB ⇒ BH và CK đều vuông góc với các cạnh đối xứng nhau

⇒ BH // CK

Xét hai tam giác vuông ΔBHC và ΔCKB

AB = AC ⇒ CK = BH (do khoảng cách từ các điểm chân đường cao đến các cạnh là bằng nhau)

Góc tại B và C bằng nhau

⇒ hai đoạn BK và CH bằng nhau

⇒ BK = CH

=> Tứ giác BCHK có hai cạnh đối diện BH và CK song song và BK = CH

⇒ BCHK là hình thang cân (đpcm)

Timi · Answer

Để chứng minh tứ giác BCHK là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng BCHK có hai cạnh đối song song và hai cạnh bên bằng nhau.

1. Chứng minh BH song song với CK:

- Tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC.
   - BH và CK là hai đường cao của tam giác ABC, nên BH vuông góc với AC và CK vuông góc với AB.
   - Do đó, BH song song với CK vì cả hai đều vuông góc với cùng một đường thẳng (AC và AB lần lượt).

2. Chứng minh BH = CK:

- Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc BAH = góc CAK.
   - Trong tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACK, ta có:
     - AB = AC (do tam giác ABC cân tại A),
     - góc BAH = góc CAK (do tam giác ABC cân tại A),
     - BH và CK là các đường cao tương ứng.
   - Do đó, hai tam giác vuông ABH và ACK đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (góc BAH = góc CAK và góc vuông tại H và K).
   - Từ sự đồng dạng này, ta suy ra BH = CK.

3. Kết luận:

- Tứ giác BCHK có hai cạnh đối song song (BH song song với CK) và hai cạnh bên bằng nhau (BH = CK).
   - Do đó, tứ giác BCHK là hình thang cân.

Vậy, ta đã chứng minh được BCHK là hình thang cân.