Giúp mình với! $(\frac1{2x-1}-\frac{2-x}{x+1}):(\frac1x+x-2)(x
e0;x
e\pm1;x
e\frac12)$

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5422025,"userName":"Nguyến Kễ Vũ"}

$$\left(\frac{1}{2x-1}-\frac{2-x}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x}+x-2\right)$$

$$=\frac{x+1-\left(2-x\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(x+1\right)}:\frac{1+x^2-2x}{x}$$

$$=\frac{x+1-5x+2x^2+2}{\left(2x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x}{\left(1-x\right)^2}$$

$$=\frac{2x^2-4x+3}{\left(2x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{x}{\left(1-x\right)^2}$$

$$=\frac{2x^3-4x^2+3x}{2x^4-3x^3-x^2+3x-1}$$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   ĐKXĐ: $ x \neq 0; x \neq \pm 1; x \neq \frac{1}{2} $

2. Rút gọn biểu thức:
   Ta có biểu thức ban đầu:
   $$
   \left( \frac{1}{2x-1} - \frac{2-x}{x+1} \right) : \left( \frac{1}{x} + x - 2 \right)
   $$

Trước tiên, ta sẽ rút gọn phần tử số của biểu thức:
   $$
   \frac{1}{2x-1} - \frac{2-x}{x+1}
   $$

Để trừ hai phân số này, ta cần quy đồng mẫu số:
   $$
   \frac{(x+1) - (2-x)(2x-1)}{(2x-1)(x+1)}
   $$

Tính tử số:
   $$
   (x+1) - (2-x)(2x-1) = x + 1 - (4x - 2 - 2x^2 + x) = x + 1 - 4x + 2 + 2x^2 - x = 2x^2 - 4x + 3
   $$

Vậy tử số của phần tử số là $ 2x^2 - 4x + 3 $, và mẫu số là $ (2x-1)(x+1) $:
   $$
   \frac{2x^2 - 4x + 3}{(2x-1)(x+1)}
   $$

Tiếp theo, ta sẽ rút gọn phần mẫu số của biểu thức:
   $$
   \frac{1}{x} + x - 2
   $$

Quy đồng mẫu số:
   $$
   \frac{1 + x^2 - 2x}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = \frac{(x-1)^2}{x}
   $$

Bây giờ, ta có biểu thức đã được rút gọn:
   $$
   \frac{2x^2 - 4x + 3}{(2x-1)(x+1)} : \frac{(x-1)^2}{x}
   $$

Chia hai phân số bằng cách nhân với nghịch đảo của phân số thứ hai:
   $$
   \frac{2x^2 - 4x + 3}{(2x-1)(x+1)} \cdot \frac{x}{(x-1)^2} = \frac{x(2x^2 - 4x + 3)}{(2x-1)(x+1)(x-1)^2}
   $$

Kết quả cuối cùng là:
   $$
   \frac{x(2x^2 - 4x + 3)}{(2x-1)(x+1)(x-1)^2}
   $$

Đây là dạng rút gọn của biểu thức ban đầu.