Câu 18 nhé.

Câu 18: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x + y \) với điều kiện \( x^2 + y^2 = 1 \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Điều kiện xác định của bài toán này là \( x^2 + y^2 = 1 \). Đây là phương trình đường tròn tâm tại gốc tọa độ và bán kính bằng 1. Bước 2: Biến đổi biểu thức \( P \) - Ta có \( P = x + y \). Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz - Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong không gian hai chiều phát biểu rằng: \[ (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2)^2 \] - Trong trường hợp này, ta chọn \( x_1 = x \), \( x_2 = y \), \( y_1 = 1 \), \( y_2 = 1 \): \[ (x^2 + y^2)(1^2 + 1^2) \geq (x \cdot 1 + y \cdot 1)^2 \] \[ 1 \cdot 2 \geq (x + y)^2 \] \[ 2 \geq (x + y)^2 \] Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \( P \) - Từ bất đẳng thức trên, ta có: \[ -\sqrt{2} \leq x + y \leq \sqrt{2} \] - Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \) và giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \). Bước 5: Kiểm tra các giá trị đạt được - Để kiểm tra giá trị lớn nhất \( \sqrt{2} \) đạt được khi nào, ta giải hệ phương trình: \[ x + y = \sqrt{2} \] \[ x^2 + y^2 = 1 \] - Thay \( y = \sqrt{2} - x \) vào phương trình thứ hai: \[ x^2 + (\sqrt{2} - x)^2 = 1 \] \[ x^2 + 2 - 2\sqrt{2}x + x^2 = 1 \] \[ 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 1 \] \[ 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{2\sqrt{2} \pm \sqrt{8 - 8}}{4} \] \[ x = \frac{2\sqrt{2}}{4} \] \[ x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] - Vậy \( y = \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Do đó, giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). Tương tự, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của \( P \) là \( \sqrt{2} \), đạt được khi \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( -\sqrt{2} \), đạt được khi \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \). Câu 18: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm điều kiện để hai đường tròn \((C)\) và \((C')\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt, sau đó tìm quỹ tích của điểm \((8a+12;16b-20)\). Bước 1: Xác định điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt Đường tròn \((C)\) có phương trình: \[ x^2 + y^2 = 4 \] với tâm \(O(0, 0)\) và bán kính \(R = 2\). Đường tròn \((C')\) có phương trình: \[ x^2 + y^2 - 4\lambda x - 9 = 0 \] có thể viết lại dưới dạng: \[ (x - 2\lambda)^2 + y^2 = 4\lambda^2 + 9 \] với tâm \(O'(2\lambda, 0)\) và bán kính \(R' = \sqrt{4\lambda^2 + 9}\). Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi khoảng cách giữa hai tâm nhỏ hơn tổng bán kính và lớn hơn hiệu bán kính: \[ |OO'| < R + R' \quad \text{và} \quad |OO'| > |R - R'| \] Tính khoảng cách giữa hai tâm: \[ |OO'| = |2\lambda - 0| = 2|\lambda| \] Điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt: \[ 2|\lambda| < 2 + \sqrt{4\lambda^2 + 9} \quad \text{và} \quad 2|\lambda| > |2 - \sqrt{4\lambda^2 + 9}| \] Bước 2: Giải bất phương trình 1. Bất phương trình thứ nhất: \[ 2|\lambda| < 2 + \sqrt{4\lambda^2 + 9} \] Bình phương hai vế: \[ 4\lambda^2 < 4 + 4\lambda^2 + 9 + 4\sqrt{4\lambda^2 + 9} \] \[ 0 < 13 + 4\sqrt{4\lambda^2 + 9} \] Điều này luôn đúng với mọi \(\lambda\). 2. Bất phương trình thứ hai: \[ 2|\lambda| > |2 - \sqrt{4\lambda^2 + 9}| \] Xét hai trường hợp: - \(2 - \sqrt{4\lambda^2 + 9} \geq 0\): \[ 2|\lambda| > 2 - \sqrt{4\lambda^2 + 9} \] Bình phương hai vế: \[ 4\lambda^2 > 4 + 4\lambda^2 + 9 - 4\sqrt{4\lambda^2 + 9} \] \[ 0 > 13 - 4\sqrt{4\lambda^2 + 9} \] \[ \sqrt{4\lambda^2 + 9} > \frac{13}{4} \] \[ 4\lambda^2 + 9 > \left(\frac{13}{4}\right)^2 \] \[ 4\lambda^2 > \frac{169}{16} - 9 \] \[ 4\lambda^2 > \frac{25}{16} \] \[ \lambda^2 > \frac{25}{64} \] \[ |\lambda| > \frac{5}{8} \] - \(2 - \sqrt{4\lambda^2 + 9} < 0\): \[ 2|\lambda| > \sqrt{4\lambda^2 + 9} - 2 \] Bình phương hai vế: \[ 4\lambda^2 > 4\lambda^2 + 9 - 4 + 4\sqrt{4\lambda^2 + 9} \] \[ 0 > 5 + 4\sqrt{4\lambda^2 + 9} \] Điều này không thể xảy ra. Vậy điều kiện để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt là: \[ |\lambda| > \frac{5}{8} \] Bước 3: Tìm quỹ tích Tập hợp các giá trị của \(\lambda\) để hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt là \(\mathbb{R} \setminus \left[-\frac{5}{8}, \frac{5}{8}\right]\). Quỹ tích của điểm \((8a+12; 16b-20)\) với \(a = -\frac{5}{8}\) và \(b = \frac{5}{8}\) là: \[ (8a + 12, 16b - 20) = \left(8\left(-\frac{5}{8}\right) + 12, 16\left(\frac{5}{8}\right) - 20\right) \] \[ = (-5 + 12, 10 - 20) = (7, -10) \] Điểm \((7, -10)\) là một điểm cố định, không phải là một đường cong. Do đó, không có quỹ tích nào thỏa mãn điều kiện này. Tuy nhiên, nếu xét các giá trị khác của \(\lambda\), ta có thể tìm được quỹ tích là một đường cong. Kết luận Quỹ tích của điểm \((8a+12; 16b-20)\) không phải là một đường cong trong các lựa chọn đã cho.