Tính giá trị biểu thức.

Câu 24: Để giải bài toán này, ta cần tìm tọa độ của điểm P trên đường thẳng \(L_1\) và điểm Q trên đường thẳng \(L_2\) sao cho đoạn thẳng PQ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng này. Sau đó, ta tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng PQ và từ đó tính giá trị của biểu thức \(2(\alpha + \beta + \gamma)\). Bước 1: Viết phương trình tham số của hai đường thẳng Đường thẳng \(L_1\) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = 2 - \lambda, \\ z = 3 + \lambda. \end{cases} \] Đường thẳng \(L_2\) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 4 + \mu, \\ y = 5 + \mu, \\ z = 6 - \mu. \end{cases} \] Bước 2: Tìm đoạn vuông góc chung Đoạn vuông góc chung PQ cắt \(L_1\) tại P và \(L_2\) tại Q. Giả sử tọa độ của P là \((1 + \lambda, 2 - \lambda, 3 + \lambda)\) và tọa độ của Q là \((4 + \mu, 5 + \mu, 6 - \mu)\). Đoạn PQ là đoạn vuông góc chung, do đó \(\overrightarrow{PQ}\) vuông góc với cả hai vectơ chỉ phương của \(L_1\) và \(L_2\). Vectơ chỉ phương của \(L_1\) là \((1, -1, 1)\) và của \(L_2\) là \((1, 1, -1)\). Vectơ \(\overrightarrow{PQ} = (3 + \mu - \lambda, 3 + \mu + \lambda, 3 - \mu - \lambda)\). Ta có: \[ \overrightarrow{PQ} \cdot (1, -1, 1) = (3 + \mu - \lambda) - (3 + \mu + \lambda) + (3 - \mu - \lambda) = 0 \] \[ \Rightarrow -2\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2} \] Và: \[ \overrightarrow{PQ} \cdot (1, 1, -1) = (3 + \mu - \lambda) + (3 + \mu + \lambda) - (3 - \mu - \lambda) = 0 \] \[ \Rightarrow 2\mu + 3 = 0 \Rightarrow \mu = -\frac{3}{2} \] Bước 3: Tính tọa độ của P và Q Với \(\lambda = \frac{3}{2}\), tọa độ của P là: \[ \left(1 + \frac{3}{2}, 2 - \frac{3}{2}, 3 + \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{1}{2}, \frac{9}{2}\right) \] Với \(\mu = -\frac{3}{2}\), tọa độ của Q là: \[ \left(4 - \frac{3}{2}, 5 - \frac{3}{2}, 6 + \frac{3}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{9}{2}\right) \] Bước 4: Tính tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng PQ Trung điểm M có tọa độ: \[ \left(\frac{\frac{5}{2} + \frac{5}{2}}{2}, \frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2}}{2}, \frac{\frac{9}{2} + \frac{9}{2}}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, \frac{4}{2}, \frac{9}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}, 2, \frac{9}{2}\right) \] Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \(2(\alpha + \beta + \gamma)\) Với \(\alpha = \frac{5}{2}\), \(\beta = 2\), \(\gamma = \frac{9}{2}\), ta có: \[ \alpha + \beta + \gamma = \frac{5}{2} + 2 + \frac{9}{2} = \frac{5}{2} + \frac{4}{2} + \frac{9}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] Do đó, \(2(\alpha + \beta + \gamma) = 2 \times 9 = 18\). Vậy, giá trị của biểu thức \(2(\alpha + \beta + \gamma)\) là \(\boxed{18}\).