Đề bài: Cho hệ phương trình: { x + m y = 3 m m x − y = m 2 − 3 { x+my=3m mx−y=m 2 −3 ​ với m m là tham số. Tìm các giá trị của m m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x ; y ) (x;y) sao cho:...

Để giải bài toán này, ta cần xét hai điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn các yêu cầu của đề bài. Bước 1: Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Cho hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + my = 3m \\ mx - y = m^2 - 3 \end{cases} \] Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của hệ số khác 0. Định thức của hệ số là: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 1 & m \\ m & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - m \cdot m = -1 - m^2 \] Để hệ có nghiệm duy nhất, ta cần: \[ -1 - m^2 \neq 0 \implies m^2 \neq -1 \] Vì \(m^2\) luôn không âm, điều kiện này luôn đúng với mọi \(m\). Bước 2: Điều kiện để điểm \(A(x, y)\) nằm trong góc phần tư thứ II Điểm \(A(x, y)\) nằm trong góc phần tư thứ II khi \(x < 0\) và \(y > 0\). Giải hệ phương trình để tìm \(x\) và \(y\): - Từ phương trình thứ nhất: \(x = 3m - my\) - Thay vào phương trình thứ hai: \[ m(3m - my) - y = m^2 - 3 \] \[ 3m^2 - m^2y - y = m^2 - 3 \] \[ -m^2y - y = m^2 - 3 - 3m^2 \] \[ y(m^2 + 1) = 2m^2 + 3 \] \[ y = \frac{2m^2 + 3}{m^2 + 1} \] Thay \(y\) vào biểu thức của \(x\): \[ x = 3m - m\left(\frac{2m^2 + 3}{m^2 + 1}\right) \] \[ x = \frac{3m(m^2 + 1) - m(2m^2 + 3)}{m^2 + 1} \] \[ x = \frac{3m^3 + 3m - 2m^3 - 3m}{m^2 + 1} \] \[ x = \frac{m^3}{m^2 + 1} \] Điều kiện để \(x < 0\) và \(y > 0\): - \(x < 0\) khi \(\frac{m^3}{m^2 + 1} < 0\), tức là \(m^3 < 0\) (vì \(m^2 + 1 > 0\) với mọi \(m\)), suy ra \(m < 0\). - \(y > 0\) khi \(\frac{2m^2 + 3}{m^2 + 1} > 0\), điều này luôn đúng với mọi \(m\). Bước 3: Điều kiện để \(x\) và \(y\) là độ dài 2 đường chéo của hình thoi có chu vi 25 cm Chu vi hình thoi là 25 cm, suy ra mỗi cạnh của hình thoi là \(\frac{25}{4}\) cm. Độ dài hai đường chéo của hình thoi là \(x\) và \(y\), thỏa mãn: \[ \sqrt{x^2 + y^2} = \frac{25}{4} \] Thay \(x = \frac{m^3}{m^2 + 1}\) và \(y = \frac{2m^2 + 3}{m^2 + 1}\) vào: \[ \sqrt{\left(\frac{m^3}{m^2 + 1}\right)^2 + \left(\frac{2m^2 + 3}{m^2 + 1}\right)^2} = \frac{25}{4} \] Giải phương trình này để tìm \(m\). Kết luận Tìm các giá trị \(m\) thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Sau khi giải phương trình, ta sẽ có các giá trị \(m\) cần tìm.