Giải bài tập

Bài 1: Do \(\alpha\) thuộc khoảng \((\pi; \frac{3\pi}{2})\), suy ra \(\alpha\) nằm ở góc phần tư III, do đó cả sin và cos đều âm. Ta biết rằng: \[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] và \[ \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}. \] Từ \(\cot \alpha = \frac{7}{3}\), ta có: \[ \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{3}{7}. \] Tiếp theo, ta sử dụng công thức liên hệ giữa \(\tan \alpha\) và \(\sin \alpha\), \(\cos \alpha\): \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}. \] Bây giờ, ta sẽ tính \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) dựa trên mối quan hệ này và công thức Pythagoras: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1. \] Giả sử \(\sin \alpha = -x\) và \(\cos \alpha = -y\) (do \(\alpha\) nằm ở góc phần tư III). Ta có: \[ \tan \alpha = \frac{-x}{-y} = \frac{x}{y} = \frac{3}{7}. \] Từ đây, ta suy ra: \[ x = \frac{3}{7} y. \] Thay vào công thức Pythagoras: \[ (-x)^2 + (-y)^2 = 1, \] \[ x^2 + y^2 = 1, \] \[ \left( \frac{3}{7} y \right)^2 + y^2 = 1, \] \[ \frac{9}{49} y^2 + y^2 = 1, \] \[ \frac{9}{49} y^2 + \frac{49}{49} y^2 = 1, \] \[ \frac{58}{49} y^2 = 1, \] \[ y^2 = \frac{49}{58}, \] \[ y = \sqrt{\frac{49}{58}} = \frac{7}{\sqrt{58}} = \frac{7 \sqrt{58}}{58}. \] Vì \(\cos \alpha\) âm, ta có: \[ \cos \alpha = -\frac{7 \sqrt{58}}{58}. \] Bây giờ, ta tính \(x\): \[ x = \frac{3}{7} y = \frac{3}{7} \cdot \frac{7 \sqrt{58}}{58} = \frac{3 \sqrt{58}}{58}. \] Vì \(\sin \alpha\) âm, ta có: \[ \sin \alpha = -\frac{3 \sqrt{58}}{58}. \] Vậy, các giá trị lượng giác còn lại của góc \(\alpha\) là: \[ \tan \alpha = \frac{3}{7}, \] \[ \sin \alpha = -\frac{3 \sqrt{58}}{58}, \] \[ \cos \alpha = -\frac{7 \sqrt{58}}{58}. \] Bài 2: Ta có: \[ T = \frac{3\sin \beta + \cos \beta}{\sin \beta - \cos \beta} \] Chia cả tử số và mẫu số của phân số cho \(\cos \beta\): \[ T = \frac{\frac{3\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin \beta}{\cos \beta} - \frac{\cos \beta}{\cos \beta}} \] \[ T = \frac{3\tan \beta + 1}{\tan \beta - 1} \] Thay giá trị \(\tan \beta = 2\) vào biểu thức trên: \[ T = \frac{3(2) + 1}{2 - 1} \] \[ T = \frac{6 + 1}{1} \] \[ T = \frac{7}{1} \] \[ T = 7 \] Do đó, giá trị của biểu thức \( T \) là: \[ T = 7 \] Bài 3: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{2\sin\alpha - 5\cos\alpha} \) khi biết \(\cot\alpha = \frac{1}{3}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) thông qua \(\cot\alpha\): Ta có \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{3}\). Điều này có nghĩa là: \[ \cos\alpha = \frac{1}{3} \sin\alpha \] 2. Thay \(\cos\alpha\) vào biểu thức \(P\): Thay \(\cos\alpha = \frac{1}{3} \sin\alpha\) vào biểu thức \(P\): \[ P = \frac{3\sin\alpha + 4\left(\frac{1}{3} \sin\alpha\right)}{2\sin\alpha - 5\left(\frac{1}{3} \sin\alpha\right)} \] 3. Rút gọn tử số và mẫu số: Tử số: \[ 3\sin\alpha + 4\left(\frac{1}{3} \sin\alpha\right) = 3\sin\alpha + \frac{4}{3} \sin\alpha = \left(3 + \frac{4}{3}\right) \sin\alpha = \frac{9}{3} \sin\alpha + \frac{4}{3} \sin\alpha = \frac{13}{3} \sin\alpha \] Mẫu số: \[ 2\sin\alpha - 5\left(\frac{1}{3} \sin\alpha\right) = 2\sin\alpha - \frac{5}{3} \sin\alpha = \left(2 - \frac{5}{3}\right) \sin\alpha = \frac{6}{3} \sin\alpha - \frac{5}{3} \sin\alpha = \frac{1}{3} \sin\alpha \] 4. Tính giá trị của \(P\): \[ P = \frac{\frac{13}{3} \sin\alpha}{\frac{1}{3} \sin\alpha} = \frac{13}{3} \div \frac{1}{3} = \frac{13}{3} \times \frac{3}{1} = 13 \] Vậy giá trị của biểu thức \(P\) là: \[ P = 13 \] Bài 4: Để tính giá trị của biểu thức \( M = \frac{2\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 4\cos^2 x}{5\cos^2 x - \sin^2 x} \) khi biết \( \tan x = \frac{1}{2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Biến đổi biểu thức \( M \) theo \( \tan x \): Ta chia cả tử số và mẫu số của \( M \) cho \( \cos^2 x \): \[ M = \frac{2\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 4\cos^2 x}{5\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{2\tan^2 x + 3\tan x - 4}{5 - \tan^2 x} \] 2. Thay giá trị \( \tan x = \frac{1}{2} \) vào biểu thức đã biến đổi: \[ M = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 4}{5 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} \] \[ M = \frac{2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 4}{5 - \frac{1}{4}} \] \[ M = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 4}{5 - \frac{1}{4}} \] \[ M = \frac{\frac{1 + 3 - 8}{2}}{\frac{20 - 1}{4}} \] \[ M = \frac{\frac{-4}{2}}{\frac{19}{4}} \] \[ M = \frac{-2}{\frac{19}{4}} \] \[ M = -2 \cdot \frac{4}{19} \] \[ M = -\frac{8}{19} \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là \( -\frac{8}{19} \).