Giải bài tập CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN,Bài 1. Cho $\cot\alpha=\frac73$ thỏa mãn $\alpha\in(\pi;\frac{3\pi}2).$ Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a .,$ĐS.~ an\alpha=\frac37,\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{58}}{58},\cos\alpha=-\frac{7\sqrt{58}}{58}.$,Bài 2. Cho tan $\beta=2.$ Tính giá trị của biểu thức $T-\frac{3\sin\beta+\cos\beta}{\sin\beta-\cos\beta}.$,$DS.~T=\frac{13}3.$,Bài 3. Cho góc x thỏa mãn $\cot\alpha=\frac13.$ Tính giá trị biểu thức: $P=\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{2\sin\alpha-5\cos\alpha}.$,$ĐS.~P=13$,Bài 4. Cho $ an x=\frac12.$ Tính giá trị của biểu thức $M=\frac{2\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x}{5\cos^2x-\sin^2x}$,$DS.~M=-\frac8{19}.$

Question

Giải bài tập CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN,Bài 1. Cho $\cot\alpha=\frac73$ thỏa mãn $\alpha\in(\pi;\frac{3\pi}2).$ Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a .,$ĐS.~	an\alpha=\frac37,\sin\alpha=-\frac{3\sqrt{58}}{58},\cos\alpha=-\frac{7\sqrt{58}}{58}.$,Bài 2. Cho tan $\beta=2.$ Tính giá trị của biểu thức $T-\frac{3\sin\beta+\cos\beta}{\sin\beta-\cos\beta}.$,$DS.~T=\frac{13}3.$,Bài 3. Cho góc x thỏa mãn $\cot\alpha=\frac13.$ Tính giá trị biểu thức: $P=\frac{3\sin\alpha+4\cos\alpha}{2\sin\alpha-5\cos\alpha}.$,$ĐS.~P=13$,Bài 4. Cho $	an x=\frac12.$ Tính giá trị của biểu thức $M=\frac{2\sin^2x+3\sin x\cos x-4\cos^2x}{5\cos^2x-\sin^2x}$,$DS.~M=-\frac8{19}.$

Accepted Answer

Bài 1:
Do $\alpha$ thuộc khoảng $(\pi; \frac{3\pi}{2})$, suy ra $\alpha$ nằm ở góc phần tư III, do đó cả sin và cos đều âm.

Ta biết rằng:
$$
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
$$
và 
$$
\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}.
$$

Từ $\cot \alpha = \frac{7}{3}$, ta có:
$$
\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{3}{7}.
$$

Tiếp theo, ta sử dụng công thức liên hệ giữa $\tan \alpha$ và $\sin \alpha$, $\cos \alpha$:
$$
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.
$$

Bây giờ, ta sẽ tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$ dựa trên mối quan hệ này và công thức Pythagoras:
$$
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
$$

Giả sử $\sin \alpha = -x$ và $\cos \alpha = -y$ (do $\alpha$ nằm ở góc phần tư III).

Ta có:
$$
\tan \alpha = \frac{-x}{-y} = \frac{x}{y} = \frac{3}{7}.
$$

Từ đây, ta suy ra:
$$
x = \frac{3}{7} y.
$$

Thay vào công thức Pythagoras:
$$
(-x)^2 + (-y)^2 = 1,
$$
$$
x^2 + y^2 = 1,
$$
$$
\left( \frac{3}{7} y \right)^2 + y^2 = 1,
$$
$$
\frac{9}{49} y^2 + y^2 = 1,
$$
$$
\frac{9}{49} y^2 + \frac{49}{49} y^2 = 1,
$$
$$
\frac{58}{49} y^2 = 1,
$$
$$
y^2 = \frac{49}{58},
$$
$$
y = \sqrt{\frac{49}{58}} = \frac{7}{\sqrt{58}} = \frac{7 \sqrt{58}}{58}.
$$

Vì $\cos \alpha$ âm, ta có:
$$
\cos \alpha = -\frac{7 \sqrt{58}}{58}.
$$

Bây giờ, ta tính $x$:
$$
x = \frac{3}{7} y = \frac{3}{7} \cdot \frac{7 \sqrt{58}}{58} = \frac{3 \sqrt{58}}{58}.
$$

Vì $\sin \alpha$ âm, ta có:
$$
\sin \alpha = -\frac{3 \sqrt{58}}{58}.
$$

Vậy, các giá trị lượng giác còn lại của góc $\alpha$ là:
$$
\tan \alpha = \frac{3}{7},
$$
$$
\sin \alpha = -\frac{3 \sqrt{58}}{58},
$$
$$
\cos \alpha = -\frac{7 \sqrt{58}}{58}.
$$

Bài 2:
Ta có:
$$ T = \frac{3\sin \beta + \cos \beta}{\sin \beta - \cos \beta} $$

Chia cả tử số và mẫu số của phân số cho $\cos \beta$:

$$ T = \frac{\frac{3\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin \beta}{\cos \beta} - \frac{\cos \beta}{\cos \beta}} $$

$$ T = \frac{3\tan \beta + 1}{\tan \beta - 1} $$

Thay giá trị $\tan \beta = 2$ vào biểu thức trên:

$$ T = \frac{3(2) + 1}{2 - 1} $$

$$ T = \frac{6 + 1}{1} $$

$$ T = \frac{7}{1} $$

$$ T = 7 $$

Do đó, giá trị của biểu thức $ T $ là:

$$ T = 7 $$

Bài 3:
Để tính giá trị của biểu thức $ P = \frac{3\sin\alpha + 4\cos\alpha}{2\sin\alpha - 5\cos\alpha} $ khi biết $\cot\alpha = \frac{1}{3}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Biểu diễn $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ thông qua $\cot\alpha$:
   Ta có $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{3}$. Điều này có nghĩa là:
   $$
   \cos\alpha = \frac{1}{3} \sin\alpha
   $$

2. Thay $\cos\alpha$ vào biểu thức $P$:
   Thay $\cos\alpha = \frac{1}{3} \sin\alpha$ vào biểu thức $P$:
   $$
   P = \frac{3\sin\alpha + 4\left(\frac{1}{3} \sin\alpha\right)}{2\sin\alpha - 5\left(\frac{1}{3} \sin\alpha\right)}
   $$

3. Rút gọn tử số và mẫu số:
   Tử số:
   $$
   3\sin\alpha + 4\left(\frac{1}{3} \sin\alpha\right) = 3\sin\alpha + \frac{4}{3} \sin\alpha = \left(3 + \frac{4}{3}\right) \sin\alpha = \frac{9}{3} \sin\alpha + \frac{4}{3} \sin\alpha = \frac{13}{3} \sin\alpha
   $$
   
   Mẫu số:
   $$
   2\sin\alpha - 5\left(\frac{1}{3} \sin\alpha\right) = 2\sin\alpha - \frac{5}{3} \sin\alpha = \left(2 - \frac{5}{3}\right) \sin\alpha = \frac{6}{3} \sin\alpha - \frac{5}{3} \sin\alpha = \frac{1}{3} \sin\alpha
   $$

4. Tính giá trị của $P$:
   $$
   P = \frac{\frac{13}{3} \sin\alpha}{\frac{1}{3} \sin\alpha} = \frac{13}{3} \div \frac{1}{3} = \frac{13}{3} \times \frac{3}{1} = 13
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $P$ là:
$$
P = 13
$$

Bài 4:
Để tính giá trị của biểu thức $ M = \frac{2\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 4\cos^2 x}{5\cos^2 x - \sin^2 x} $ khi biết $ \tan x = \frac{1}{2} $, ta thực hiện các bước sau:

1. Biến đổi biểu thức $ M $ theo $ \tan x $:
   Ta chia cả tử số và mẫu số của $ M $ cho $ \cos^2 x $:
   $$
   M = \frac{2\sin^2 x + 3\sin x \cos x - 4\cos^2 x}{5\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{2\tan^2 x + 3\tan x - 4}{5 - \tan^2 x}
   $$

2. Thay giá trị $ \tan x = \frac{1}{2} $ vào biểu thức đã biến đổi:
   $$
   M = \frac{2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 4}{5 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}
   $$
   $$
   M = \frac{2 \cdot \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 4}{5 - \frac{1}{4}}
   $$
   $$
   M = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 4}{5 - \frac{1}{4}}
   $$
   $$
   M = \frac{\frac{1 + 3 - 8}{2}}{\frac{20 - 1}{4}}
   $$
   $$
   M = \frac{\frac{-4}{2}}{\frac{19}{4}}
   $$
   $$
   M = \frac{-2}{\frac{19}{4}}
   $$
   $$
   M = -2 \cdot \frac{4}{19}
   $$
   $$
   M = -\frac{8}{19}
   $$

Vậy giá trị của biểu thức $ M $ là $ -\frac{8}{19} $.