Giúp mình với!

Câu 6: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm biểu thức của vector \(\overrightarrow{AG}\), trong đó \(G\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\). Trọng tâm \(G\) của tam giác \(BCD\) được xác định bởi công thức: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}) \] với \(O\) là gốc tọa độ. Tuy nhiên, trong bài toán này, ta cần biểu diễn \(\overrightarrow{AG}\) theo các vector \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\). Trước tiên, ta biểu diễn các vector \(\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}, \overrightarrow{OD}\) theo \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\): - \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\) - \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b}\) - \(\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{c}\) Do đó, vector \(\overrightarrow{OG}\) có thể được viết lại như sau: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \] Bây giờ, ta cần tìm \(\overrightarrow{AG}\): \[ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) - \overrightarrow{0} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \] Vậy, đẳng thức đúng là: \[ B.~\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}). \] Câu 7: Để biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{B^\prime C}\) theo các vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\), ta cần phân tích các vectơ trong hình lăng trụ. 1. Xác định các vectơ cơ bản: - \(\overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{a}\): Đây là vectơ đi từ điểm \(A\) đến điểm \(A'\). - \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}\): Đây là vectơ đi từ điểm \(A\) đến điểm \(B\). - \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\): Đây là vectơ đi từ điểm \(A\) đến điểm \(C\). 2. Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{B^\prime C}\): - Đầu tiên, ta cần xác định vị trí của điểm \(B'\) và \(C\) trong hình lăng trụ. - Vectơ \(\overrightarrow{B^\prime C}\) có thể được biểu diễn thông qua các vectơ cơ bản bằng cách đi từ \(B'\) đến \(C\) qua các điểm trung gian. 3. Phân tích đường đi từ \(B'\) đến \(C\): - Từ \(B'\) đến \(B\): \(\overrightarrow{B^\prime B} = -\overrightarrow{a}\) (vì \(B'\) là điểm đối diện với \(B\) qua mặt phẳng đáy trên). - Từ \(B\) đến \(A\): \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{b}\). - Từ \(A\) đến \(C\): \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\). 4. Tổng hợp các vectơ: - Vectơ \(\overrightarrow{B^\prime C}\) có thể được viết như sau: \[ \overrightarrow{B^\prime C} = \overrightarrow{B^\prime B} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] 5. Kết luận: - Vậy, vectơ \(\overrightarrow{B^\prime C}\) được biểu diễn theo các vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\) là: \[ \overrightarrow{B^\prime C} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] Do đó, đáp án đúng là \(D.~\overrightarrow{B^\prime C} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\). Câu 8: Để giải bài toán này, ta cần xác định vectơ \(\overrightarrow{AI}\) trong hình hộp ABCD.EFGH với các vectơ đã cho. 1. Xác định vectơ \(\overrightarrow{BG}\): Trong hình hộp, các cạnh song song và bằng nhau. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{c} \] 2. Xác định vectơ \(\overrightarrow{BI}\): Vì I là trung điểm của BG, nên: \[ \overrightarrow{BI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] 3. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AI}\): Ta có: \[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BI} \] Thay các giá trị đã biết vào, ta được: \[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] 4. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AB}\): Trong hình hộp, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} \] 5. Xác định vectơ \(\overrightarrow{AD}\): Trong hình hộp, ta có: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} \] 6. Kết hợp các vectơ: Từ các bước trên, ta có: \[ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] Tuy nhiên, để có được \(\overrightarrow{AI}\) theo các vectơ \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}\), ta cần thêm \(\overrightarrow{b}\) vào: \[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ C.~\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2} \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c}. \]