cho a>0;b>0 và a^3+b^3+1=3ab Tính P=a^2+b^2+2025

Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của biểu thức \( P = a^2 + b^2 + 2025 \) với điều kiện \( a^3 + b^3 + 1 = 3ab \). Trước tiên, ta sẽ biến đổi điều kiện đã cho: \[ a^3 + b^3 + 1 = 3ab \] Ta có thể viết lại điều kiện này dưới dạng: \[ a^3 + b^3 = 3ab - 1 \] Sử dụng hằng đẳng thức: \[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \] Thay vào điều kiện: \[ (a+b)(a^2 - ab + b^2) = 3ab - 1 \] Để đơn giản hóa bài toán, ta thử đặt \( a = b \). Khi đó, điều kiện trở thành: \[ 2a^3 + 1 = 3a^2 \] Giải phương trình này: \[ 2a^3 + 1 = 3a^2 \] \[ 2a^3 - 3a^2 + 1 = 0 \] Ta thử nghiệm với \( a = 1 \): \[ 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 \] Vậy \( a = 1 \) là nghiệm của phương trình. Khi \( a = 1 \), ta có \( b = 1 \). Thay \( a = 1 \) và \( b = 1 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = a^2 + b^2 + 2025 = 1^2 + 1^2 + 2025 = 1 + 1 + 2025 = 2027 \] Vậy giá trị của \( P \) là 2027.