Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của cạnh CD,hình chiếu
vuông góc của S lên ( ) ABCD là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và ( ) ABCD bằng
600 . Tính khoảng cách
a) Từ B đến ( ) SAM .
b) Từ C đến ( ) SAH

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định các yếu tố cơ bản của hình chóp.

- Đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, do đó:
  - $ AB = BC = CD = DA = 2a $.
  - M là trung điểm của CD, nên $ CM = MD = a $.

- Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AM. Do đó, $ AH = HM = \frac{\sqrt{(2a)^2 + a^2}}{2} = \frac{\sqrt{5}a}{2} $.

Bước 2: Tính độ dài SH.

- Góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) là $60^\circ$. Gọi $ \theta $ là góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD), ta có:
  $$
  \cos \theta = \frac{SH}{SD} = \frac{1}{2}
  $$
  Do đó, $ SH = \frac{1}{2} SD $.

Bước 3: Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAM).

- Mặt phẳng (SAM) chứa các điểm S, A, M. Ta cần tìm khoảng cách từ B đến mặt phẳng này.
- Gọi $ \vec{n} $ là vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAM). Ta có thể tìm $\vec{n}$ bằng tích có hướng của hai vector trong mặt phẳng này, ví dụ $\vec{SA}$ và $\vec{AM}$.
- Tính $\vec{SA}$ và $\vec{AM}$:
  $$
  \vec{SA} = (0, 0, SH), \quad \vec{AM} = (a, 0, 0)
  $$
- Vector pháp tuyến $\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AM} = (0, a \cdot SH, 0)$.
- Phương trình mặt phẳng (SAM) có dạng $a \cdot y = 0$.
- Khoảng cách từ B(2a, 0, 0) đến mặt phẳng (SAM) là:
  $$
  d = \frac{|a \cdot 0|}{\sqrt{a^2}} = 0
  $$

Bước 4: Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAH).

- Mặt phẳng (SAH) chứa các điểm S, A, H. Ta cần tìm khoảng cách từ C đến mặt phẳng này.
- Tương tự, tìm vector pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng (SAH) bằng tích có hướng của hai vector trong mặt phẳng này, ví dụ $\vec{SA}$ và $\vec{AH}$.
- Tính $\vec{AH}$:
  $$
  \vec{AH} = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)
  $$
- Vector pháp tuyến $\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{AH} = \left(0, \frac{a \cdot SH}{2}, 0\right)$.
- Phương trình mặt phẳng (SAH) có dạng $\frac{a \cdot y}{2} = 0$.
- Khoảng cách từ C(0, 2a, 0) đến mặt phẳng (SAH) là:
  $$
  d = \frac{\left|\frac{a \cdot 2a}{2}\right|}{\sqrt{\left(\frac{a \cdot SH}{2}\right)^2}} = \frac{a}{SH}
  $$

Vậy, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAM) là 0, và khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAH) là $\frac{a}{SH}$.

Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình vuông cạnh 2a. M là trung điểm của cạnh CD,hình chiếu vuông góc của S lên ( ) ABCD là trung điểm H của AM. Biết góc giữa SD và ( ) ABCD bằng 600 . Tính khoảng cách...