cho số thực a,b thỏa mãn a+b bé hơn hoặc bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=a+b+1/a mũ 2 +1/b mũ 2

Điều kiện xác định: \( a \neq 0; b \neq 0 \) Ta có: \[ A = a + b + \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số \((a, \frac{1}{a^2})\) và \((b, \frac{1}{b^2})\): \[ a + \frac{1}{a^2} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{a^2}} = 2 \sqrt{\frac{1}{a}} \] \[ b + \frac{1}{b^2} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{b^2}} = 2 \sqrt{\frac{1}{b}} \] Do đó: \[ A \geq 2 \left( \sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{b}} \right) \] Bây giờ ta sẽ tối ưu hóa biểu thức này dưới ràng buộc \( a + b \leq 1 \). Xét trường hợp \( a = b \): \[ 2a \leq 1 \Rightarrow a \leq \frac{1}{2} \] Thay \( a = b = \frac{1}{2} \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} + \frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 1 + 4 + 4 = 9 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 9, đạt được khi \( a = b = \frac{1}{2} \).