giúpp e ạaa Câu 7. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=x^3-3x^2+(4-m)x$,đồng biến trên khoảng $(2;+\infty)$ là:,$A.~(-\infty;1].$ $B.~(-\infty;4].$ $C.~(-\infty;1).$ $D.~(-\infty;4).$

Question

Accepted Answer

Câu 7:
Để hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + (4 - m)x $ đồng biến trên khoảng $ (2; +\infty) $, ta cần đảm bảo rằng đạo hàm của hàm số $ y&#x27; \geq 0 $ trên khoảng này.

1. Tính đạo hàm của hàm số:
   $$
   y&#x27; = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + (4 - m)x) = 3x^2 - 6x + (4 - m)
   $$

2. Để hàm số đồng biến trên khoảng $ (2; +\infty) $, ta cần $ y&#x27; \geq 0 $ trên khoảng này. Do đó, ta xét bất phương trình:
   $$
   3x^2 - 6x + (4 - m) \geq 0
   $$

3. Ta cần tìm giá trị của $ m $ sao cho bất phương trình trên đúng với mọi $ x > 2 $.

4. Xét dấu của $ y&#x27; $ tại $ x = 2 $:
   $$
   y&#x27;(2) = 3(2)^2 - 6(2) + (4 - m) = 12 - 12 + 4 - m = 4 - m
   $$
   Để $ y&#x27; \geq 0 $ tại $ x = 2 $, ta cần:
   $$
   4 - m \geq 0 \implies m \leq 4
   $$

5. Kiểm tra tính đúng đắn của bất phương trình $ 3x^2 - 6x + (4 - m) \geq 0 $ khi $ m \leq 4 $:
   - Với $ m = 4 $, ta có:
     $$
     y&#x27; = 3x^2 - 6x \geq 0 \quad \text{với mọi } x > 2
     $$
     Điều này đúng vì $ 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \geq 0 $ khi $ x > 2 $.

- Với $ m < 4 $, ta có:
     $$
     y&#x27; = 3x^2 - 6x + (4 - m) \geq 0 \quad \text{với mọi } x > 2
     $$
     Điều này cũng đúng vì $ 3x^2 - 6x + (4 - m) $ là một đa thức bậc hai có hệ số dẫn đầu dương và đỉnh nằm bên trái $ x = 2 $.

Vậy tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $ m $ để hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + (4 - m)x $ đồng biến trên khoảng $ (2; +\infty) $ là:
$$
\boxed{B. (-\infty; 4]}
$$