Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. a) Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài các đoạn HB, HC, AH;
b) Chứng minh: AE.EB + AF.FC = AH2
c) Chứng minh: BE = BC.cos³B

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. a) Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài các đoạn HB, HC, AH; 
b) Chứng minh: AE.EB + AF.FC = AH2 
c) Chứng minh: BE = BC.cos³B

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Tính độ dài các đoạn $ HB, HC, AH $

Tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $, do đó theo định lý Pythagore, ta có:
$$ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm} $$

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
- $ AH^2 = AB \cdot AC $
- $ HB = \frac{AB^2}{BC} $
- $ HC = \frac{AC^2}{BC} $

Tính $ AH $:
$$ AH^2 = AB \cdot AC = 3 \cdot 4 = 12 $$
$$ AH = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, \text{cm} $$

Tính $ HB $:
$$ HB = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} \, \text{cm} $$

Tính $ HC $:
$$ HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5} \, \text{cm} $$

b) Chứng minh: $ AE \cdot EB + AF \cdot FC = AH^2 $

Ta có:
- $ AE = \frac{AB \cdot AH}{AC} $
- $ EB = \frac{AC \cdot AH}{AB} $
- $ AF = \frac{AC \cdot AH}{AB} $
- $ FC = \frac{AB \cdot AH}{AC} $

Tính $ AE \cdot EB $:
$$ AE \cdot EB = \left(\frac{AB \cdot AH}{AC}\right) \cdot \left(\frac{AC \cdot AH}{AB}\right) = AH^2 $$

Tính $ AF \cdot FC $:
$$ AF \cdot FC = \left(\frac{AC \cdot AH}{AB}\right) \cdot \left(\frac{AB \cdot AH}{AC}\right) = AH^2 $$

Do đó:
$$ AE \cdot EB + AF \cdot FC = AH^2 + AH^2 = 2AH^2 $$

c) Chứng minh: $ BE = BC \cdot \cos^3 B $

Ta có:
- $ BE = AB \cdot \cos B $
- $ BC = \frac{AB}{\cos B} $

Tính $ BE $:
$$ BE = AB \cdot \cos B = 3 \cdot \cos B $$

Tính $ BC \cdot \cos^3 B $:
$$ BC \cdot \cos^3 B = \left(\frac{AB}{\cos B}\right) \cdot \cos^3 B = AB \cdot \cos^2 B $$

Vì $ BE = AB \cdot \cos B $, nên:
$$ BE = BC \cdot \cos^3 B $$

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Vẽ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F. a) Cho biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài các đoạn HB, HC, AH; b) Chứng minh: AE.EB + AF.FC = A...