Giúp mình với!

1. Giải các hệ phương trình sau: $1.\left\{\begin{array}{l}2x+y=7\\-x+4y=10\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ hai với 2 để làm cho hệ số của \(x\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} 2x + y = 7 \\ -2x + 8y = 20 \end{array}\right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (2x - 2x) + (y + 8y) = 7 + 20 \] \[ 9y = 27 \] \[ y = 3 \] Thay \(y = 3\) vào phương trình đầu tiên: \[ 2x + 3 = 7 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = 2\) và \(y = 3\). Đáp số: \(x = 2\), \(y = 3\) $2.\left\{\begin{array}{l}-2x+y=-3\\3x+4y=10\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 4 để làm cho hệ số của \(y\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} -8x + 4y = -12 \\ 3x + 4y = 10 \end{array}\right. \] Trừ hai phương trình: \[ (-8x - 3x) + (4y - 4y) = -12 - 10 \] \[ -11x = -22 \] \[ x = 2 \] Thay \(x = 2\) vào phương trình đầu tiên: \[ -2(2) + y = -3 \] \[ -4 + y = -3 \] \[ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = 2\) và \(y = 1\). Đáp số: \(x = 2\), \(y = 1\) $3.\left\{\begin{array}{l}2x-7y=25\\3x+5y=-9\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 5 và phương trình thứ hai với 7 để làm cho hệ số của \(y\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} 10x - 35y = 125 \\ 21x + 35y = -63 \end{array}\right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (10x + 21x) + (-35y + 35y) = 125 - 63 \] \[ 31x = 62 \] \[ x = 2 \] Thay \(x = 2\) vào phương trình đầu tiên: \[ 2(2) - 7y = 25 \] \[ 4 - 7y = 25 \] \[ -7y = 21 \] \[ y = -3 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = 2\) và \(y = -3\). Đáp số: \(x = 2\), \(y = -3\) $4.\left\{\begin{array}{l}0,3x+0,5y=31,5\\x-2y=1,5\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 10 để làm cho hệ số của \(x\) và \(y\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} 3x + 5y = 315 \\ x - 2y = 1,5 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ hai với 3 để làm cho hệ số của \(x\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} 3x + 5y = 315 \\ 3x - 6y = 4,5 \end{array}\right. \] Trừ hai phương trình: \[ (3x - 3x) + (5y + 6y) = 315 - 4,5 \] \[ 11y = 310,5 \] \[ y = 28,23 \] Thay \(y = 28,23\) vào phương trình đầu tiên: \[ 3x + 5(28,23) = 315 \] \[ 3x + 141,15 = 315 \] \[ 3x = 173,85 \] \[ x = 57,95 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = 57,95\) và \(y = 28,23\). Đáp số: \(x = 57,95\), \(y = 28,23\) $5.\left\{\begin{array}{l}-\frac12x+\frac13y=0\\y-x=1\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 6 để làm cho hệ số của \(x\) và \(y\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} -3x + 2y = 0 \\ y - x = 1 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ hai với 2 để làm cho hệ số của \(y\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} -3x + 2y = 0 \\ 2y - 2x = 2 \end{array}\right. \] Trừ hai phương trình: \[ (-3x + 2x) + (2y - 2y) = 0 - 2 \] \[ -x = -2 \] \[ x = 2 \] Thay \(x = 2\) vào phương trình đầu tiên: \[ -3(2) + 2y = 0 \] \[ -6 + 2y = 0 \] \[ 2y = 6 \] \[ y = 3 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = 2\) và \(y = 3\). Đáp số: \(x = 2\), \(y = 3\) $6.\left\{\begin{array}{l}3(x-1)-4(1-y)=2\\-x-\frac43y=-3\end{array}\right.$ Khai triển và sắp xếp lại phương trình đầu tiên: \[ \left\{\begin{array}{l} 3x - 3 - 4 + 4y = 2 \\ -x - \frac43y = -3 \end{array}\right. \] \[ \left\{\begin{array}{l} 3x + 4y = 9 \\ -x - \frac43y = -3 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ hai với 3 để làm cho hệ số của \(x\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} 3x + 4y = 9 \\ -3x - 4y = -9 \end{array}\right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (3x - 3x) + (4y - 4y) = 9 - 9 \] \[ 0 = 0 \] Điều này cho thấy hai phương trình là tương đương, do đó chúng ta chỉ cần giải một trong hai phương trình: \[ 3x + 4y = 9 \] Chọn \(x = 1\): \[ 3(1) + 4y = 9 \] \[ 3 + 4y = 9 \] \[ 4y = 6 \] \[ y = 1,5 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = 1\) và \(y = 1,5\). Đáp số: \(x = 1\), \(y = 1,5\) $7.\left\{\begin{array}{l}\frac x2+\frac y3=\frac{11}{12}\\4x-2y=5\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 6 để làm cho hệ số của \(x\) và \(y\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} 3x + 2y = 11 \\ 4x - 2y = 5 \end{array}\right. \] Cộng hai phương trình lại: \[ (3x + 4x) + (2y - 2y) = 11 + 5 \] \[ 7x = 16 \] \[ x = \frac{16}{7} \] Thay \(x = \frac{16}{7}\) vào phương trình đầu tiên: \[ 3\left(\frac{16}{7}\right) + 2y = 11 \] \[ \frac{48}{7} + 2y = 11 \] \[ 2y = 11 - \frac{48}{7} \] \[ 2y = \frac{77 - 48}{7} \] \[ 2y = \frac{29}{7} \] \[ y = \frac{29}{14} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = \frac{16}{7}\) và \(y = \frac{29}{14}\). Đáp số: \(x = \frac{16}{7}\), \(y = \frac{29}{14}\) $8.\left\{\begin{array}{l}xy-(x+3)(y-5)=4\\3(3x-1)(y-2)=-27+.\end{array}\right.$ Khai triển và sắp xếp lại phương trình đầu tiên: \[ \left\{\begin{array}{l} xy - (xy - 5x + 3y - 15) = 4 \\ 3(3x-1)(y-2) = -27 \end{array}\right. \] \[ \left\{\begin{array}{l} xy - xy + 5x - 3y + 15 = 4 \\ 3(3x-1)(y-2) = -27 \end{array}\right. \] \[ \left\{\begin{array}{l} 5x - 3y + 15 = 4 \\ 3(3x-1)(y-2) = -27 \end{array}\right. \] \[ \left\{\begin{array}{l} 5x - 3y = -11 \\ 3(3x-1)(y-2) = -27 \end{array}\right. \] Chia phương trình thứ hai cho 3: \[ \left\{\begin{array}{l} 5x - 3y = -11 \\ (3x-1)(y-2) = -9 \end{array}\right. \] Giả sử \(x = 1\): \[ 5(1) - 3y = -11 \] \[ 5 - 3y = -11 \] \[ -3y = -16 \] \[ y = \frac{16}{3} \] Thay \(x = 1\) và \(y = \frac{16}{3}\) vào phương trình thứ hai: \[ (3(1)-1)\left(\frac{16}{3}-2\right) = -9 \] \[ (3-1)\left(\frac{16}{3}-2\right) = -9 \] \[ 2\left(\frac{16}{3}-2\right) = -9 \] \[ 2\left(\frac{16}{3}-\frac{6}{3}\right) = -9 \] \[ 2\left(\frac{10}{3}\right) = -9 \] \[ \frac{20}{3} = -9 \] Điều này không đúng, do đó không có nghiệm thực cho hệ phương trình này. Đáp số: Không có nghiệm thực. $\textcircled{69}.\left\{\begin{array}{l}\frac43(\frac1x+\frac1y)=1\\\frac1{6x}+\frac1{5y}=\frac2{15}\end{array}\right.$ Nhân phương trình thứ nhất với 3 để làm cho hệ số của \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{y}\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} 4\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 3 \\ \frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15} \end{array}\right. \] Chia phương trình thứ nhất cho 4: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \\ \frac{1}{6x} + \frac{1}{5y} = \frac{2}{15} \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ hai với 30 để làm cho hệ số của \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{y}\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{4} \\ 5\left(\frac{1}{x}\right) + 6\left(\frac{1}{y}\right) = 4 \end{array}\right. \] Nhân phương trình thứ nhất với 5 để làm cho hệ số của \(\frac{1}{x}\) ở cả hai phương trình giống nhau: \[ \left\{\begin{array}{l} 5\left(\frac{1}{x}\right) + 5\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{15}{4} \\ 5\left(\frac{1}{x}\right) + 6\left(\frac{1}{y}\right) = 4 \end{array}\right. \] Trừ hai phương trình: \[ (5\left(\frac{1}{x}\right) - 5\left(\frac{1}{x}\right)) + (5\left(\frac{1}{y}\right) - 6\left(\frac{1}{y}\right)) = \frac{15}{4} - 4 \] \[ -\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{15}{4} - 4 \] \[ -\left(\frac{1}{y}\right) = \frac{15}{4} - \frac{16}{4} \] \[ -\left(\frac{1}{y}\right) = -\frac{1}{4} \] \[ \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \] \[ y = 4 \] Thay \(y = 4\) vào phương trình đầu tiên: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{2}{4} \] \[ \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \] \[ x = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(x = 2\) và \(y = 4\). Đáp số: \(x = 2\), \(y = 4\) Bài 2: Gọi số lớn là a và số nhỏ là b (a > 31, b > 0) Theo đề bài ta có: $a+b=297$ $a=b\times 6+31$ Thay $a=b\times 6+31$ vào $a+b=297$ ta có: $b\times 6+31+b=297$ $b\times 7=297-31$ $b\times 7=266$ $b=266:7$ $b=38$ Vậy $a=297-38=259$ Đáp số: 259; 38 Bài 3: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn hình chữ nhật, từ đó tính diện tích ban đầu. Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu lần lượt là \( x \) và \( y \) (đơn vị: mét, điều kiện: \( x > 0, y > 0 \)). Theo đề bài, chu vi của khu vườn là 50m, ta có phương trình: \[ 2(x + y) = 50 \] \[ x + y = 25 \quad (1) \] Khi giảm chiều rộng 3m, chiều rộng mới là \( y - 3 \). Diện tích của hình chữ nhật mới là: \[ x(y - 3) \] Theo đề bài, diện tích mới nhỏ hơn diện tích ban đầu 45m², ta có phương trình: \[ xy - x(y - 3) = 45 \] \[ xy - xy + 3x = 45 \] \[ 3x = 45 \] \[ x = 15 \] Thay \( x = 15 \) vào phương trình (1): \[ 15 + y = 25 \] \[ y = 10 \] Vậy chiều dài và chiều rộng ban đầu của khu vườn lần lượt là 15m và 10m. Diện tích khu vườn lúc đầu là: \[ A = x \times y = 15 \times 10 = 150 \, m^2 \] Do đó, diện tích khu vườn lúc đầu là \( 150 \, m^2 \). Bài 4: Gọi giá buffet của mỗi người lớn là x (đồng, điều kiện: x > 0). Gọi giá buffet của mỗi trẻ em là y (đồng, điều kiện: y > 0). Theo đề bài, gia đình ông Khanh gồm ba người lớn và bốn trẻ em thanh toán 1350000 đồng khi vào nhà hàng, ta có phương trình: 3x + 4y = 1350000. Theo đề bài, gia đình bà Vân gồm ba người lớn và hai trẻ em thanh toán 1050000 đồng khi vào nhà hàng, ta có phương trình: 3x + 2y = 1050000. Ta có hệ phương trình: 3x + 4y = 1350000, 3x + 2y = 1050000. Nhân phương trình thứ hai với 2 để làm cho hệ số của y giống nhau: 6x + 4y = 2100000. Bây giờ ta trừ phương trình đầu tiên từ phương trình này: (6x + 4y) - (3x + 4y) = 2100000 - 1350000, 3x = 750000, x = 250000. Thay x = 250000 vào phương trình 3x + 2y = 1050000: 3 250000 + 2y = 1050000, 750000 + 2y = 1050000, 2y = 300000, y = 150000. Vậy giá buffet của mỗi người lớn là 250000 đồng và giá buffet của mỗi trẻ em là 150000 đồng. Bài 5: Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh, điều kiện: x > 0) Gọi số học sinh lớp 9B là y (học sinh, điều kiện: y > 0) Mỗi học sinh lớp 9A quyên góp 6 quyển giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo nên tổng số sách giáo khoa và sách tham khảo do lớp 9A quyên góp là 6x + 3x = 9x (quyển) Mỗi học sinh lớp 9B quyên góp 5 quyển giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo nên tổng số sách giáo khoa và sách tham khảo do lớp 9B quyên góp là 5y + 4y = 9y (quyển) Tổng số sách giáo khoa và sách tham khảo của hai lớp là 738 quyển nên ta có phương trình: 9x + 9y = 738 Hay x + y = 82 (1) Tổng số sách giáo khoa của hai lớp là 6x + 5y (quyển) Tổng số sách tham khảo của hai lớp là 3x + 4y (quyển) Biết số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển nên ta có phương trình: (6x + 5y) - (3x + 4y) = 166 Hay 3x + y = 166 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases} x + y = 82 \\ 3x + y = 166 \end{cases}$ Giải hệ phương trình trên ta được x = 42 và y = 40 Vậy số sách giáo khoa và sách tham khảo do lớp 9A quyên góp là 6 × 42 + 3 × 42 = 378 (quyển) Số sách giáo khoa và sách tham khảo do lớp 9B quyên góp là 5 × 40 + 4 × 40 = 360 (quyển) Đáp số: Lớp 9A: 378 quyển; Lớp 9B: 360 quyển Bài 6: Gọi số chi tiết máy tổ thứ nhất sản xuất trong tháng thứ nhất là x (chiếc, điều kiện: x > 0). Gọi số chi tiết máy tổ thứ hai sản xuất trong tháng thứ nhất là y (chiếc, điều kiện: y > 0). Theo đề bài, ta có: - Tổng số chi tiết máy sản xuất trong tháng thứ nhất là 750 chiếc: \[ x + y = 750 \] - Trong tháng thứ hai, tổ thứ nhất sản xuất vượt 15% so với tháng thứ nhất, tức là sản xuất được \( x + 0,15x = 1,15x \) chiếc. - Tổ thứ hai sản xuất vượt 10% so với tháng thứ nhất, tức là sản xuất được \( y + 0,10y = 1,10y \) chiếc. - Tổng số chi tiết máy sản xuất trong tháng thứ hai là 845 chiếc: \[ 1,15x + 1,10y = 845 \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình: \[ x + y = 750 \] \[ 1,15x + 1,10y = 845 \] Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ y = 750 - x \] Thay \( y = 750 - x \) vào phương trình thứ hai: \[ 1,15x + 1,10(750 - x) = 845 \] \[ 1,15x + 825 - 1,10x = 845 \] \[ 0,05x + 825 = 845 \] \[ 0,05x = 20 \] \[ x = 400 \] Thay \( x = 400 \) vào \( y = 750 - x \): \[ y = 750 - 400 \] \[ y = 350 \] Vậy, trong tháng thứ nhất, tổ thứ nhất sản xuất được 400 chiếc máy và tổ thứ hai sản xuất được 350 chiếc máy. Bài 7: Gọi giá trị của loại hàng thứ nhất không tính thuế là x (triệu đồng, điều kiện: x > 0). Giá trị của loại hàng thứ hai không tính thuế là y (triệu đồng, điều kiện: y > 0). Giá trị của loại hàng thứ nhất tính cả thuế là $x + \frac{x}{100} \times 10 = 1,1x$ (triệu đồng). Giá trị của loại hàng thứ hai tính cả thuế là $y + \frac{y}{100} \times 8 = 1,08y$ (triệu đồng). Theo đề bài ta có phương trình: $1,1x + 1,08y = 21,7$ (1) Giá trị của loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai tính theo thuế 9% là $\frac{x}{100} \times 9 = 0,09x$ (triệu đồng) và $\frac{y}{100} \times 9 = 0,09y$ (triệu đồng). Theo đề bài ta có phương trình: $1,09(x + y) = 21,8$ (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $1,1x + 1,08y = 21,7$ $1,09x + 1,09y = 21,8$ Nhân phương trình thứ hai với 100 để dễ dàng hơn: $109x + 109y = 2180$ Chia phương trình này cho 109: $x + y = 20$ Bây giờ ta sẽ giải hệ phương trình: $1,1x + 1,08y = 21,7$ $x + y = 20$ Nhân phương trình thứ hai với 1,08: $1,08x + 1,08y = 21,6$ Trừ phương trình này từ phương trình đầu tiên: $1,1x + 1,08y - (1,08x + 1,08y) = 21,7 - 21,6$ $0,02x = 0,1$ $x = 5$ Thay giá trị của x vào phương trình $x + y = 20$: $5 + y = 20$ $y = 15$ Vậy giá trị của loại hàng thứ nhất không tính thuế là 5 triệu đồng và giá trị của loại hàng thứ hai không tính thuế là 15 triệu đồng.