cho điểm a nằm ngoài đường tròn (o),kẻ tiêp tuyến am,an với (o) (m,n là các tiếp điểm)a,c/m oa là đường trung trực của mn

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $OA$ là đường trung trực của $MN$, ta cần chứng minh hai điều sau:

1. $OA$ vuông góc với $MN$.
2. $OA$ đi qua trung điểm của $MN$.

Bước 1: Chứng minh $OA$ vuông góc với $MN$

- Vì $AM$ và $AN$ là các tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $M$ và $N$, nên $OM$ vuông góc với $AM$ và $ON$ vuông góc với $AN$.
- Do đó, $OM$ và $ON$ là các bán kính vuông góc với các tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc.
- Xét tứ giác $OMAN$, ta có:
  - $\angle OMA = 90^\circ$ (do $OM$ vuông góc với $AM$)
  - $\angle ONA = 90^\circ$ (do $ON$ vuông góc với $AN$)
- Suy ra, tứ giác $OMAN$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $OA$.
- Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, $\angle OMA + \angle ONA = 180^\circ$.
- Do đó, $OA$ vuông góc với $MN$.

Bước 2: Chứng minh $OA$ đi qua trung điểm của $MN$

- Vì $AM = AN$ (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau từ một điểm ngoài đường tròn), nên tam giác $AMN$ là tam giác cân tại $A$.
- Gọi $I$ là trung điểm của $MN$.
- Trong tam giác cân $AMN$, đường trung tuyến $AI$ cũng là đường cao, do đó $AI$ vuông góc với $MN$.
- Từ bước 1, ta đã có $OA$ vuông góc với $MN$.
- Do đó, $OA$ trùng với $AI$, và $I$ là trung điểm của $MN$.

Kết luận: $OA$ là đường trung trực của $MN$.