Bài 7:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.
a) Chứng minh AECK là hình bình hành.
- Ta có E là trung điểm của CD và K là trung điểm của AB.
- Xét đoạn thẳng AE và CK:
- Vì E là trung điểm của CD nên AE = EC.
- Vì K là trung điểm của AB nên AK = KB.
- Do đó, AE song song và bằng CK.
- Tương tự, AC song song và bằng EK (vì AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD).
- Vậy tứ giác AECK có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AECK là hình bình hành.
b) Chứng minh ba điểm O, E, K thẳng hàng.
- Ta đã chứng minh AECK là hình bình hành, do đó AE song song với CK.
- Đường chéo BD cắt AC tại O, nên O là trung điểm của AC (vì AC là đường chéo của hình bình hành ABCD).
- Do đó, O nằm trên đường thẳng nối trung điểm của AE và CK.
- Vì E là trung điểm của CD và K là trung điểm của AB, nên O, E, K thẳng hàng.
c) Chứng minh $DN=NM=MB.$
- Xét tam giác DMB, đường chéo BD cắt AE tại N.
- Vì AECK là hình bình hành, nên AE song song với CK và AE = CK.
- Do đó, tam giác DMB có DN = NM = MB (vì N là trung điểm của DB do BD cắt AE tại N và AE là đường trung bình của tam giác DMB).
d) Chứng minh $AE=3KM.$
- Từ phần a), ta đã biết AE = CK.
- Vì AECK là hình bình hành, nên AE = CK.
- Ta đã chứng minh DN = NM = MB, do đó, M là trung điểm của DB.
- Vì K là trung điểm của AB, nên KM = MB.
- Do đó, AE = 3KM (vì AE = CK và CK = 3KM do M là trung điểm của DB và K là trung điểm của AB).
Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.
Bài 8:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:
a) Chứng minh AMCN là hình bình hành
1. Xét trung điểm:
- M là trung điểm của OD, do đó \(OM = MD\).
- N là trung điểm của OB, do đó \(ON = NB\).
2. Chứng minh AM // CN và AM = CN:
- Xét hai tam giác AOM và CON:
- \(OM = ON\) (vì M và N lần lượt là trung điểm của OD và OB).
- \(AO = CO\) (vì O là giao điểm của hai đường chéo trong hình bình hành ABCD, nên AO = CO).
- Góc \(AOM = CON\) (vì đối đỉnh).
- Do đó, tam giác AOM bằng tam giác CON (cạnh-góc-cạnh), suy ra \(AM = CN\).
3. Chứng minh AM // CN:
- Vì tam giác AOM bằng tam giác CON, nên góc \(AMO = CNO\).
- Do đó, AM // CN.
4. Kết luận:
- Tứ giác AMCN có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó AMCN là hình bình hành.
b) Chứng minh \(DE = BF\)
1. Xét các tam giác:
- Xét tam giác AOD và tam giác BOC:
- \(AO = CO\) và \(DO = BO\) (vì O là trung điểm của AC và BD trong hình bình hành).
- Góc \(AOD = BOC\) (vì đối đỉnh).
2. Chứng minh DE = BF:
- Xét tam giác AOD và tam giác BOC:
- \(AM = MD\) và \(CN = NB\) (vì M và N là trung điểm).
- Do đó, \(DE\) là đường trung bình của tam giác AOD và \(BF\) là đường trung bình của tam giác BOC.
- Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, \(DE = \frac{1}{2}AD\) và \(BF = \frac{1}{2}BC\).
- Trong hình bình hành, \(AD = BC\), do đó \(DE = BF\).
3. Kết luận:
- Ta đã chứng minh được \(DE = BF\).
Vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.