Giải phương trình:
$\sqrt{x + 5} + \sqrt{2x - 1} = 6$

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x \geq \frac{1}{2} $.

Bước 1: Đặt $ \sqrt{x + 5} = a $ và $ \sqrt{2x - 1} = b $. Ta có $ a + b = 6 $.

Bước 2: Bình phương cả hai vế của phương trình $ a + b = 6 $:
$$ a^2 + 2ab + b^2 = 36. $$

Bước 3: Thay $ a^2 = x + 5 $ và $ b^2 = 2x - 1 $ vào phương trình trên:
$$ (x + 5) + 2ab + (2x - 1) = 36. $$
$$ 3x + 4 + 2ab = 36. $$
$$ 3x + 2ab = 32. $$

Bước 4: Tìm $ ab $:
$$ ab = \sqrt{(x + 5)(2x - 1)}. $$

Bước 5: Thay $ ab $ vào phương trình $ 3x + 2ab = 32 $:
$$ 3x + 2\sqrt{(x + 5)(2x - 1)} = 32. $$

Bước 6: Giải phương trình trên để tìm $ x $:
$$ 2\sqrt{(x + 5)(2x - 1)} = 32 - 3x. $$
$$ \sqrt{(x + 5)(2x - 1)} = 16 - \frac{3x}{2}. $$

Bước 7: Bình phương cả hai vế:
$$ (x + 5)(2x - 1) = \left(16 - \frac{3x}{2}\right)^2. $$
$$ 2x^2 + 10x - x - 5 = 256 - 48x + \frac{9x^2}{4}. $$
$$ 2x^2 + 9x - 5 = 256 - 48x + \frac{9x^2}{4}. $$

Bước 8: Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số:
$$ 8x^2 + 36x - 20 = 1024 - 192x + 9x^2. $$
$$ 8x^2 + 36x - 20 = 1024 - 192x + 9x^2. $$
$$ 8x^2 - 9x^2 + 36x + 192x - 20 - 1024 = 0. $$
$$ -x^2 + 228x - 1044 = 0. $$
$$ x^2 - 228x + 1044 = 0. $$

Bước 9: Giải phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{228 \pm \sqrt{228^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1044}}{2 \cdot 1}. $$
$$ x = \frac{228 \pm \sqrt{51984 - 4176}}{2}. $$
$$ x = \frac{228 \pm \sqrt{47808}}{2}. $$
$$ x = \frac{228 \pm 218.64}{2}. $$

Bước 10: Tìm các giá trị của $ x $:
$$ x = \frac{228 + 218.64}{2} = 223.32 \quad (\text{loại vì không thỏa mãn điều kiện } x \geq \frac{1}{2}). $$
$$ x = \frac{228 - 218.64}{2} = 4.68. $$

Bước 11: Kiểm tra giá trị $ x = 4.68 $:
$$ \sqrt{4.68 + 5} + \sqrt{2 \cdot 4.68 - 1} = 6. $$
$$ \sqrt{9.68} + \sqrt{8.36} = 6. $$
$$ 3.11 + 2.89 = 6. $$

Vậy nghiệm của phương trình là $ x = 4.68 $.