Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... d) Chứng minh $AE=3KM.$,Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy M, N lần lượt là trung,điểm của OD, OB. E là giao điểm của AM và CD, F là giao điểm của CN và AB.,a) Chứng minh AMCN là hình bình hành.,b) Chứng minh $DE=BF.$,Bài 9: Cho $\Delta ABC$ nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H .Đường vuông góc với AB tại,B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K

Question

Accepted Answer

Bài 8:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh AMCN là hình bình hành:

1. Xét trung điểm:
   - M là trung điểm của OD, do đó $ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} $.
   - N là trung điểm của OB, do đó $ \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} $.

2. Chứng minh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm:
   - Trong hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, là trung điểm của cả hai đường chéo. Do đó, $ \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OC} $ và $ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} $.

3. Chứng minh AM // CN và AM = CN:
   - Xét $ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{AO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} $.
   - Xét $ \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{CO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} $.
   - Vì $ \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CO} $ và $ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} $, ta có:
     $$
     \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{CN}
     $$
   - Do đó, AM // CN và AM = CN.

4. Chứng minh AN // CM và AN = CM:
   - Tương tự, xét $ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{ON} = \overrightarrow{AO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB} $.
   - Xét $ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CO} + \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{CO} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OD} $.
   - Vì $ \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CO} $ và $ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} $, ta có:
     $$
     \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{CM}
     $$
   - Do đó, AN // CM và AN = CM.

5. Kết luận:
   - Từ các bước trên, ta có AMCN là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

b) Chứng minh $ DE = BF $:

1. Xét các tam giác đồng dạng:
   - Xét tam giác AOD và tam giác BOC, ta có:
     - $ \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{CO} $ và $ \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} $.
     - Do đó, tam giác AOD đồng dạng với tam giác BOC theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c).

2. Sử dụng tính chất trung điểm:
   - M là trung điểm của OD, N là trung điểm của OB.
   - Do đó, AM = CN và AM // CN.

3. Sử dụng tính chất hình bình hành:
   - Trong hình bình hành AMCN, ta có:
     - $ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{BF} $ vì E và F là giao điểm của các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành.

4. Kết luận:
   - Từ các bước trên, ta có $ DE = BF $ do tính chất của các đường thẳng song song và bằng nhau trong hình bình hành.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.

Bài 9:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích các yếu tố hình học liên quan đến tam giác nhọn $\Delta ABC$ và các đường cao của nó.

1. Xác định các đường cao và trực tâm:

- Trong tam giác $\Delta ABC$, các đường cao là các đoạn thẳng vuông góc với một cạnh và đi qua đỉnh đối diện. Cụ thể, đường cao $BD$ vuông góc với $AC$ tại $D$, và đường cao $CE$ vuông góc với $AB$ tại $E$.
   - Hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$, điểm $H$ được gọi là trực tâm của tam giác $\Delta ABC$.

2. Xác định các đường vuông góc ngoài tam giác:

- Đường vuông góc với $AB$ tại $B$ là một đường thẳng đi qua $B$ và vuông góc với cạnh $AB$.
   - Đường vuông góc với $AC$ tại $C$ là một đường thẳng đi qua $C$ và vuông góc với cạnh $AC$.

3. Xác định điểm $K$:

- Hai đường vuông góc này cắt nhau tại điểm $K$. Điểm $K$ là giao điểm của hai đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác $\Delta ABC$ tại các đỉnh tương ứng.

4. Lập luận về vị trí của $K$:

- Do $K$ là giao điểm của hai đường vuông góc với $AB$ và $AC$, nên $K$ nằm ngoài tam giác $\Delta ABC$.
   - Điểm $K$ có một tính chất đặc biệt: nó là trực tâm của tam giác $\Delta A&#x27;B&#x27;C&#x27;$, trong đó $A&#x27;$, $B&#x27;$, $C&#x27;$ là các điểm đối xứng của $A$, $B$, $C$ qua các cạnh đối diện tương ứng.

5. Kết luận:

- Điểm $K$ là một điểm đặc biệt liên quan đến các đường vuông góc ngoài tam giác $\Delta ABC$, và nó có thể được sử dụng để nghiên cứu các tính chất hình học khác của tam giác và các đường cao của nó.

Bằng cách phân tích từng bước như trên, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về cấu trúc hình học của tam giác và các điểm đặc biệt liên quan.