cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh a. BE=DF và góc ABE = góc CDF b. BE song song với FD

Question

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a. Chứng minh $ BE = DF $ và $\angle ABE = \angle CDF$:

1. Xét hình bình hành $ABCD$:
   - Trong hình bình hành, ta có $AD = BC$ và $AB = CD$.

2. Xét các điểm trung điểm:
   - $E$ là trung điểm của $AD$, do đó $AE = ED$.
   - $F$ là trung điểm của $BC$, do đó $BF = FC$.

3. Chứng minh $BE = DF$:
   - Xét hai tam giác $ABE$ và $CDF$:
     - $AE = ED$ (vì $E$ là trung điểm của $AD$).
     - $BF = FC$ (vì $F$ là trung điểm của $BC$).
     - $AB = CD$ (tính chất của hình bình hành).
   - Do đó, hai tam giác $ABE$ và $CDF$ có:
     - $AE = ED$, $BF = FC$, và $AB = CD$.
   - Theo định lý về tam giác cân, ta có $BE = DF$.

4. Chứng minh $\angle ABE = \angle CDF$:
   - Do hai tam giác $ABE$ và $CDF$ có các cạnh tương ứng bằng nhau, nên chúng đồng dạng.
   - Từ đó suy ra $\angle ABE = \angle CDF$.

b. Chứng minh $BE$ song song với $FD$:

1. Sử dụng tính chất của hình bình hành:
   - Trong hình bình hành $ABCD$, ta có $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$.

2. Xét các tam giác đồng dạng:
   - Từ phần a, ta đã chứng minh được hai tam giác $ABE$ và $CDF$ đồng dạng.
   - Do đó, các góc tương ứng bằng nhau, cụ thể là $\angle ABE = \angle CDF$.

3. Kết luận:
   - Vì $\angle ABE = \angle CDF$ và hai góc này là các góc so le trong của hai đường thẳng $BE$ và $FD$ cắt nhau bởi đường thẳng $EF$, nên $BE \parallel FD$.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.