Giúp mình với ạ Cho các số thực a, b, c thoả mãn a+b+c = 2022, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2022}$. Tính M = $\frac{1}{a^{2021}}+\frac{1}{b^{2021}}+\frac{1}{c^{2021}}$

Ta có:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a+b+c} - \frac{1}{c}$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab} = \frac{c - (a+b+c)}{c(a+b+c)}$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab} = \frac{-(a+b)}{c(a+b+c)}$

$\Leftrightarrow (a+b) \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{c(a+b+c)} \right) = 0$

$\Leftrightarrow (a+b) \left( \frac{c(a+b+c)+ab}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

$\Leftrightarrow (a+b) \left( \frac{ac+bc+c^2+ab}{abc(a+b+c)} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(a+b+c)} = 0$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a) = 0$

Do đó, xảy ra một trong các trường hợp:

$a+b=0 \Rightarrow a=-b$

$b+c=0 \Rightarrow b=-c$

$c+a=0 \Rightarrow c=-a$

TH1 : $a = -b$

Thay vào $a+b+c=2022$, ta có $c=2022$.

Khi đó:

$M = \frac{1}{a^{2021}} + \frac{1}{b^{2021}} + \frac{1}{c^{2021}} = \frac{1}{(-b)^{2021}} + \frac{1}{b^{2021}} + \frac{1}{2022^{2021}}$

$M = -\frac{1}{b^{2021}} + \frac{1}{b^{2021}} + \frac{1}{2022^{2021}} = \frac{1}{2022^{2021}}$

Hai trường hợp còn lại cho kết quả tương tự.

Vậy, $M = \frac{1}{2022^{2021}}$.