Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của của BC, CA, AB; H, K là chân đường cao hạ từ B, E lên CF; I là giao điểm của AD, EF. a) CMR: Tam giác HAK vuông cân.

Để chứng minh tam giác HAK vuông cân, ta sẽ thực hiện các bước lập luận như sau: Bước 1: Xác định các yếu tố của tam giác ABC Tam giác ABC vuông cân tại A có nghĩa là $$ và $$. Bước 2: Xác định các trung điểm và các đường cao - D là trung điểm của BC, do đó $$. - E là trung điểm của CA, do đó $$. - F là trung điểm của AB, do đó $$. Bước 3: Xác định các đường cao và giao điểm - H là chân đường cao hạ từ B xuống CF, do đó $$. - K là chân đường cao hạ từ E xuống CF, do đó $$. - I là giao điểm của AD và EF. Bước 4: Chứng minh tam giác HAK vuông cân - Vì $$ và $$, nên $$. - Do đó, tứ giác BHEK là hình thang vuông tại H và K. - Trong tam giác vuông cân ABC, vì $$, nên $$ và $$. - Vì D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB, nên AD, BE, CF là các đường trung tuyến của tam giác ABC. - Do tam giác ABC vuông cân tại A, nên AD cũng là đường cao, do đó $$. - Vì I là giao điểm của AD và EF, nên I nằm trên đường trung trực của BC. - Do đó, tam giác HAK có $$. Kết luận: Tam giác HAK vuông cân tại A vì $$ và $$ do H và K là chân đường cao từ B và E xuống CF, và CF là đường trung tuyến của tam giác vuông cân ABC.