Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ BD vuông góc AC (D thuộc AC) và CE vuông góc AB (E thuộc AB). a, CMR góc ABD = góc ACE b, Trên tia đối của tia BD lấy điểm M sao cho BM = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh rằng góc \( \angle ABD = \angle ACE \) Lập luận: - Xét hai tam giác vuông \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACE \). - Trong tam giác \( \triangle ABD \), góc \( \angle ABD \) là góc nhọn. - Trong tam giác \( \triangle ACE \), góc \( \angle ACE \) là góc nhọn. - Vì \( BD \perp AC \) và \( CE \perp AB \), nên \( \angle ADB = \angle AEC = 90^\circ \). - Xét hai tam giác vuông \( \triangle ABD \) và \( \triangle ACE \), ta có: - \( \angle ADB = \angle AEC = 90^\circ \). - Góc \( \angle BAD = \angle CAE \) (vì cùng phụ với góc \( \angle BAC \)). - Do đó, hai góc còn lại của hai tam giác vuông này phải bằng nhau: \( \angle ABD = \angle ACE \). b) Chứng minh rằng \( \triangle ABM = \triangle NCA \) Lập luận: - Theo giả thiết, \( BM = AC \) và \( CN = AB \). - Xét hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle NCA \): - \( AB = CN \) (theo giả thiết). - \( AC = BM \) (theo giả thiết). - \( \angle BAM = \angle NCA \) (vì \( \angle ABD = \angle ACE \) đã chứng minh ở phần a). - Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \( \triangle ABM = \triangle NCA \). c) Chứng minh rằng \( AM = AN \) và \( AM \perp AN \) Lập luận: - Từ phần b, ta có \( \triangle ABM = \triangle NCA \), do đó: - \( AM = AN \) (vì hai tam giác bằng nhau). - Xét tam giác \( \triangle AMN \): - Vì \( \triangle ABM = \triangle NCA \), nên \( \angle BAM = \angle NCA \). - Do đó, \( \angle AMN = 180^\circ - (\angle BAM + \angle NCA) = 180^\circ - 2\angle BAM \). - Vì \( \angle BAM = \angle NCA \), nên \( \angle AMN = 90^\circ \). - Do đó, \( AM \perp AN \). Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.