Khi nào hai đường thẳng chéo nhau vuông góc trong không gian? Nêu điều kiện cần và đủ về vectơ chỉ phương.

Question

Accepted Answer

Trong không gian, hai đường thẳng chéo nhau vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ đi qua từng bước lập luận:

1. Định nghĩa đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng và không song song với nhau.

2. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Mỗi đường thẳng trong không gian có thể được biểu diễn bằng một vectơ chỉ phương. Giả sử đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_1} = (a_1, b_1, c_1)$ và đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (a_2, b_2, c_2)$.

3. Điều kiện vuông góc của hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng chéo nhau $d_1$ và $d_2$ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0. Tức là:
   $$
   \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 + c_1 \cdot c_2 = 0
   $$

4. Lập luận: 
   - Tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0 có nghĩa là góc giữa hai vectơ là $90^\circ$, tức là hai vectơ vuông góc với nhau.
   - Khi hai vectơ chỉ phương vuông góc, điều này kéo theo rằng hai đường thẳng mà chúng chỉ phương cũng vuông góc với nhau trong không gian.

5. Kết luận: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng chéo nhau vuông góc trong không gian là tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.

Như vậy, để kiểm tra hai đường thẳng chéo nhau có vuông góc hay không, ta chỉ cần tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương và kiểm tra xem nó có bằng 0 hay không.