Giải giúo mình với

Bài 1: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh \(AB^2 = BH \cdot BC\) và \(AC^2 = CH \cdot BC\) Chứng minh: - Xét tam giác vuông \( \Delta AHB \) có: \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] Theo định lý Pitago. - Xét tam giác vuông \( \Delta AHC \) có: \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] Theo định lý Pitago. - Xét tam giác vuông \( \Delta ABC \) có: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Theo định lý Pitago. - Từ các hệ thức trên, ta có: \[ AB^2 = BH \cdot BC \quad \text{và} \quad AC^2 = CH \cdot BC \] Đây là hệ thức lượng trong tam giác vuông. b) Chứng minh \(AH^2 = BH \cdot CH\) Chứng minh: - Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \[ AH^2 = BH \cdot CH \] Đây là một hệ thức lượng quen thuộc trong tam giác vuông. c) Chứng minh \(\Delta ANB \sim \Delta CMA\) Chứng minh: - Xét hai tam giác \(\Delta ANB\) và \(\Delta CMA\): - Ta có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AH\) và \(BH\), do đó: \[ AM = \frac{1}{2}AH \quad \text{và} \quad BN = \frac{1}{2}BH \] - Góc \(\angle ANB = \angle CMA = 90^\circ\) (vì \(AH\) và \(BH\) là đường cao). - Do đó, \(\Delta ANB \sim \Delta CMA\) theo trường hợp góc-góc (AA). Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán. Bài 2: a) Chứng minh \(\Delta AHB \sim \Delta CAB\) và \(AH \cdot CB = AB \cdot AC\): - \(\Delta AHB\) và \(\Delta CAB\) có góc \(\angle AHB = \angle CAB = 90^\circ\). - Góc \(\angle AHB = \angle CAB\) (cùng là góc vuông). - Góc \(\angle BAH = \angle BAC\) (chung). Vậy \(\Delta AHB \sim \Delta CAB\) theo trường hợp góc - góc (g-g). Từ sự đồng dạng, ta có: \[ \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{CB} \] Suy ra: \[ AH \cdot CB = AB \cdot AC \] b) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tứ giác DHEA là hình gì? Vì sao? - Tứ giác \(DHEA\) có \(\angle HDA = \angle HEA = 90^\circ\). - Hai góc đối diện cùng bằng \(90^\circ\) nên tứ giác \(DHEA\) là hình chữ nhật. c) Giả sử với \(AB = 9~cm,~AC = 12~cm.\) Tính \(DE\): - Vì \(DHEA\) là hình chữ nhật nên \(DE = AH\). Sử dụng định lý Pythagore trong \(\Delta ABC\): \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15~cm \] Từ \(\Delta AHB \sim \Delta CAB\), ta có: \[ \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{BC} \] Suy ra: \[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2~cm \] Vậy \(DE = 7.2~cm\). d) Chứng minh rằng \(AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC\): - Từ \(\Delta AHD \sim \Delta AHB\), ta có: \[ \frac{AH}{AB} = \frac{AD}{AH} \Rightarrow AH^2 = AD \cdot AB \] - Từ \(\Delta AHE \sim \Delta AHC\), ta có: \[ \frac{AH}{AC} = \frac{AE}{AH} \Rightarrow AH^2 = AE \cdot AC \] - Cộng hai phương trình: \[ AH^2 = AD \cdot AB + AE \cdot AC \] - Do \(DB = AB - AD\) và \(EC = AC - AE\), ta có: \[ AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC \] Vậy đã chứng minh được \(AH^2 = DA \cdot DB + EA \cdot EC\). Bài 3: a) Chứng minh \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\): - Ta có \(\angle BAC = 90^\circ\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)). - \(\angle BAH = \angle BAC = 90^\circ\) (do \(AH\) là đường cao). - \(\angle ABC\) là góc chung của \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\). Vậy \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\) theo trường hợp góc-góc (AA). b) Giả sử \(HB = 4~cm,~HC = 9~cm.\) Tính \(AB, DE\): - Theo định lý Pitago trong \(\Delta HBC\), ta có: \[ BC^2 = HB^2 + HC^2 = 4^2 + 9^2 = 16 + 81 = 97 \] \[ BC = \sqrt{97} \] - Do \(\Delta ABC \sim \Delta HBA\), ta có: \[ \frac{AB}{HB} = \frac{BC}{AB} \] \[ AB^2 = HB \times BC = 4 \times \sqrt{97} \] \[ AB = \sqrt{4 \times \sqrt{97}} = 2\sqrt{\sqrt{97}} \] - Để tính \(DE\), ta sử dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông: \[ DE = \frac{HB \times HC}{BC} = \frac{4 \times 9}{\sqrt{97}} = \frac{36}{\sqrt{97}} \] c) Chứng minh \(AD \cdot AB = AE \cdot AC\) và \(AM \bot DE\): - Ta có \(\Delta ABD \sim \Delta AEC\) (góc chung \(\angle A\) và \(\angle ABD = \angle AEC = 90^\circ\)). - Do đó, ta có: \[ \frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} \] \[ AD \cdot AC = AE \cdot AB \] - Để chứng minh \(AM \bot DE\), ta sử dụng tính chất của đường trung tuyến và đường cao trong tam giác vuông: - \(AM\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) trong \(\Delta ABC\). - \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\), do đó \(AM \bot DE\). Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.