Chứng minh hằng đẳng thức sau với $2p=a+b+c$ $2bc+b^2+c^2-a^2=4p\left(p-a\right)$

Để chứng minh hằng đẳng thức \(2bc + b^2 + c^2 - a^2 = 4p(p-a)\) với điều kiện \(2p = a + b + c\), ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Biểu diễn \(a\) theo \(p\), \(b\), và \(c\) Từ điều kiện \(2p = a + b + c\), ta có: \[ a = 2p - b - c \] Bước 2: Thay \(a\) vào vế trái của hằng đẳng thức Thay \(a = 2p - b - c\) vào vế trái của hằng đẳng thức: \[ 2bc + b^2 + c^2 - a^2 \] Thay \(a\) vào, ta có: \[ 2bc + b^2 + c^2 - (2p - b - c)^2 \] Bước 3: Khai triển và đơn giản hóa Khai triển biểu thức \((2p - b - c)^2\): \[ (2p - b - c)^2 = (2p)^2 - 2 \cdot 2p \cdot b - 2 \cdot 2p \cdot c + b^2 + 2bc + c^2 \] \[ = 4p^2 - 4pb - 4pc + b^2 + 2bc + c^2 \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 2bc + b^2 + c^2 - (4p^2 - 4pb - 4pc + b^2 + 2bc + c^2) \] Rút gọn: \[ = 2bc + b^2 + c^2 - 4p^2 + 4pb + 4pc - b^2 - 2bc - c^2 \] \[ = 4pb + 4pc - 4p^2 \] Bước 4: Biểu diễn vế phải của hằng đẳng thức Vế phải của hằng đẳng thức là: \[ 4p(p-a) \] Thay \(a = 2p - b - c\) vào: \[ 4p(p - (2p - b - c)) \] \[ = 4p(b + c - p) \] \[ = 4pb + 4pc - 4p^2 \] Bước 5: So sánh hai vế Ta thấy rằng: \[ 2bc + b^2 + c^2 - a^2 = 4pb + 4pc - 4p^2 \] và \[ 4p(p-a) = 4pb + 4pc - 4p^2 \] Do đó, hai vế bằng nhau, chứng minh hằng đẳng thức đã cho.