Cho tứ giác ABCD có đường tròn đường kính AD tiếp xúc với BC và đường tròn đường kính BC tiếp xúc với AD. Chứng minh AB // CD

Question

Accepted Answer

Để chứng minh AB // CD, ta cần sử dụng tính chất của các đường tròn và các tiếp tuyến.

1. Xét đường tròn đường kính AD:
   - Đường tròn này tiếp xúc với BC tại một điểm, giả sử là điểm P. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: $ \angle APD = 90^\circ $.

2. Xét đường tròn đường kính BC:
   - Đường tròn này tiếp xúc với AD tại một điểm, giả sử là điểm Q. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có: $ \angle BQC = 90^\circ $.

3. Xét tứ giác APQD:
   - Từ hai góc vuông đã có, ta có: $ \angle APD + \angle BQC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $.
   - Do đó, tứ giác APQD là tứ giác nội tiếp.

4. Chứng minh AB // CD:
   - Trong tứ giác nội tiếp APQD, ta có: $ \angle PAD = \angle PQD $ (góc nội tiếp cùng chắn cung AD).
   - Tương tự, $ \angle PBD = \angle PQC $ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).
   - Do đó, hai góc $ \angle PAD $ và $ \angle PBD $ là hai góc so le trong của hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P.
   - Vì $ \angle PAD = \angle PQD $ và $ \angle PBD = \angle PQC $, nên AB // CD.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng AB // CD.