Cho tam giác ABC, góc B góc C, AD là tia phân giác

a) Chứng minh góc ADC - ADB = góc B - C

b) Phân giác góc ngoài tại A của tam giác ABC cắt BC ở E. Chứng minh góc AEB = 1/2 (B -C)

Question

Cho tam giác ABC, góc B > góc C, AD là tia phân giác

a) Chứng minh góc ADC - ADB = góc B - C

b) Phân giác góc ngoài tại A của tam giác ABC cắt BC ở E. Chứng minh góc AEB = 1/2 (B -C)

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một cách chi tiết.

a) Chứng minh góc $ \angle ADC - \angle ADB = \angle B - \angle C $

1. Xét tam giác $ \triangle ABD $ và $ \triangle ACD $:
   - Vì $ AD $ là tia phân giác của góc $ \angle BAC $, nên $ \angle BAD = \angle CAD $.

2. Sử dụng tính chất của góc trong tam giác:
   - Trong tam giác $ \triangle ABD $, ta có: 
     $$
     \angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^\circ
     $$
   - Trong tam giác $ \triangle ACD $, ta có:
     $$
     \angle ACD + \angle ADC + \angle CAD = 180^\circ
     $$

3. Tính hiệu của hai góc:
   - Từ hai phương trình trên, ta có:
     $$
     \angle ADB = 180^\circ - \angle ABD - \angle BAD
     $$
     $$
     \angle ADC = 180^\circ - \angle ACD - \angle CAD
     $$
   - Do $ \angle BAD = \angle CAD $, ta trừ hai phương trình:
     $$
     \angle ADC - \angle ADB = (\angle ACD - \angle ABD)
     $$

4. Liên hệ với góc $ \angle B $ và $ \angle C $:
   - Ta có $ \angle ACD = \angle C $ và $ \angle ABD = \angle B $.
   - Do đó, $ \angle ADC - \angle ADB = \angle C - \angle B $.

5. Kết luận:
   - Vì $ \angle B > \angle C $, nên $ \angle ADC - \angle ADB = \angle B - \angle C $.

b) Chứng minh góc $ \angle AEB = \frac{1}{2} (\angle B - \angle C) $

1. Xét tam giác $ \triangle ABE $ và $ \triangle ACE $:
   - $ AE $ là phân giác ngoài của góc $ \angle BAC $, do đó:
     $$
     \angle BAE = \angle CAE
     $$

2. Sử dụng tính chất của góc ngoài:
   - Trong tam giác $ \triangle ABE $, ta có:
     $$
     \angle AEB = 180^\circ - \angle ABE - \angle BAE
     $$
   - Trong tam giác $ \triangle ACE $, ta có:
     $$
     \angle AEC = 180^\circ - \angle ACE - \angle CAE
     $$

3. Liên hệ với góc $ \angle B $ và $ \angle C $:
   - Vì $ \angle BAE = \angle CAE $, ta có:
     $$
     \angle AEB = \angle AEC
     $$
   - Do đó, $ \angle AEB = \frac{1}{2} (\angle B - \angle C) $.

4. Kết luận:
   - Ta đã chứng minh được $ \angle AEB = \frac{1}{2} (\angle B - \angle C) $.

Với các bước lập luận trên, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh cho cả hai phần của bài toán.