Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 5: a) \( x^2 + 5x = 0 \) Ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x(x + 5) = 0 \] Để phương trình này đúng, một trong hai nhân tử phải bằng 0: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 5 = 0 \] Giải các phương trình đơn giản này: \[ x = 0 \] \[ x = -5 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 \] b) \( 3x(2x + 1) - 7(1 - 2x) = 0 \) Phân phối và rút gọn: \[ 6x^2 + 3x - 7 + 14x = 0 \] \[ 6x^2 + 17x - 7 = 0 \] Phân tích đa thức thành nhân tử: \[ (3x - 1)(2x + 7) = 0 \] Để phương trình này đúng, một trong hai nhân tử phải bằng 0: \[ 3x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 7 = 0 \] Giải các phương trình đơn giản này: \[ 3x = 1 \] \[ x = \frac{1}{3} \] \[ 2x = -7 \] \[ x = -\frac{7}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{7}{2} \] c) \( (x - 2)^2 + 3(x + 1)^2 = (2x - 1)(2x + 1) \) Phân phối và rút gọn: \[ (x - 2)^2 + 3(x + 1)^2 = 4x^2 - 1 \] \[ x^2 - 4x + 4 + 3(x^2 + 2x + 1) = 4x^2 - 1 \] \[ x^2 - 4x + 4 + 3x^2 + 6x + 3 = 4x^2 - 1 \] \[ 4x^2 + 2x + 7 = 4x^2 - 1 \] Rút gọn: \[ 2x + 7 = -1 \] \[ 2x = -8 \] \[ x = -4 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = -4 \] d) \( 2x^3 + 2x - 3x^2 - 3 = 0 \) Phân tích đa thức thành nhân tử: \[ 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3 = 0 \] \[ x^2(2x - 3) + 1(2x - 3) = 0 \] \[ (x^2 + 1)(2x - 3) = 0 \] Để phương trình này đúng, một trong hai nhân tử phải bằng 0: \[ x^2 + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x - 3 = 0 \] Giải các phương trình đơn giản này: \[ x^2 + 1 = 0 \] \[ x^2 = -1 \] (không có nghiệm thực) \[ 2x - 3 = 0 \] \[ 2x = 3 \] \[ x = \frac{3}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{3}{2} \] e) \( x^3 - 8x^2 = 8 - x \) Phân phối và rút gọn: \[ x^3 - 8x^2 + x - 8 = 0 \] \[ x^2(x - 8) + 1(x - 8) = 0 \] \[ (x^2 + 1)(x - 8) = 0 \] Để phương trình này đúng, một trong hai nhân tử phải bằng 0: \[ x^2 + 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 8 = 0 \] Giải các phương trình đơn giản này: \[ x^2 + 1 = 0 \] \[ x^2 = -1 \] (không có nghiệm thực) \[ x - 8 = 0 \] \[ x = 8 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 8 \] Bài 6: Chúng ta sẽ giải từng bài toán một cách chi tiết và tuần tự. Bài 1: Cho \( a, b \) thỏa mãn \( a.b \ne 0 \) và \( a^2 - b^2 = 2ab \). Tính giá trị của biểu thức \( T = \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \): Ta có: \[ a^2 - b^2 = 2ab \] \[ \Rightarrow (a - b)(a + b) = 2ab \] Chia cả hai vế cho \( ab \) (vì \( ab \ne 0 \)), ta được: \[ \frac{a-b}{b} \cdot \frac{a+b}{a} = 2 \] \[ \Rightarrow \left(\frac{a}{b} - 1\right)\left(\frac{a}{b} + 1\right) = 2 \] Đặt \( x = \frac{a}{b} \), ta có: \[ (x - 1)(x + 1) = 2 \] \[ \Rightarrow x^2 - 1 = 2 \] \[ \Rightarrow x^2 = 3 \] \[ \Rightarrow x = \sqrt{3} \text{ hoặc } x = -\sqrt{3} \] Vậy \( T = x - \frac{1}{x} = \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \) hoặc \( T = -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} \). Tính giá trị của biểu thức \( S = \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} \): Ta có: \[ \frac{a^2}{b^2} = x^2 = 3 \] \[ \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{x^2} = \frac{1}{3} \] Vậy: \[ S = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \] Bài 2: Bác Nam cần xây một bể đựng nước có chiều cao 1m, chu vi đáy của bể là 20m. Xác định kích thước đáy của bể để bể có thể chứa được nhiều nước nhất. Giả sử đáy của bể là hình chữ nhật có chiều dài \( x \) và chiều rộng \( y \). Ta có: \[ 2(x + y) = 20 \] \[ \Rightarrow x + y = 10 \] Thể tích của bể là: \[ V = x \cdot y \cdot 1 = x \cdot y \] Để \( V \) lớn nhất, ta cần tối ưu hóa \( x \cdot y \) với điều kiện \( x + y = 10 \). Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: \[ x \cdot y \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 \] \[ \Rightarrow x \cdot y \leq \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25 \] Dấu "=" xảy ra khi \( x = y \). Vậy kích thước đáy của bể để bể có thể chứa được nhiều nước nhất là \( x = y = 5 \). Bài 3: Cho đa thức \( P(x) = 2x^4 - 7x^3 - 2x^2 + 13x + 6 \). a) Phân tích \( P(x) \) thành nhân tử: Để phân tích đa thức thành nhân tử, ta thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ bằng cách sử dụng định lý về nghiệm của đa thức. Các nghiệm có thể là ước của hệ số tự do chia cho ước của hệ số cao nhất. Thử nghiệm \( x = 1 \): \[ P(1) = 2(1)^4 - 7(1)^3 - 2(1)^2 + 13(1) + 6 = 2 - 7 - 2 + 13 + 6 = 12 \neq 0 \] Thử nghiệm \( x = -1 \): \[ P(-1) = 2(-1)^4 - 7(-1)^3 - 2(-1)^2 + 13(-1) + 6 = 2 + 7 - 2 - 13 + 6 = 0 \] Vậy \( x = -1 \) là nghiệm của \( P(x) \). Sử dụng phép chia đa thức, ta chia \( P(x) \) cho \( x + 1 \) để tìm nhân tử còn lại. Sau khi chia, ta được: \[ P(x) = (x + 1)(2x^3 - 9x^2 + 7x + 6) \] Tiếp tục phân tích \( 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 \) bằng cách thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ khác. Thử nghiệm \( x = 1 \): \[ 2(1)^3 - 9(1)^2 + 7(1) + 6 = 2 - 9 + 7 + 6 = 6 \neq 0 \] Thử nghiệm \( x = 2 \): \[ 2(2)^3 - 9(2)^2 + 7(2) + 6 = 16 - 36 + 14 + 6 = 0 \] Vậy \( x = 2 \) là nghiệm của \( 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 \). Chia \( 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 \) cho \( x - 2 \), ta được: \[ 2x^3 - 9x^2 + 7x + 6 = (x - 2)(2x^2 - 5x - 3) \] Phân tích tiếp \( 2x^2 - 5x - 3 \) bằng cách sử dụng phương pháp tách hạng tử: \[ 2x^2 - 5x - 3 = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x(x - 3) + 1(x - 3) = (2x + 1)(x - 3) \] Vậy: \[ P(x) = (x + 1)(x - 2)(2x + 1)(x - 3) \] b) Chứng minh rằng \( P(x) \) chia hết cho 6 với mọi số nguyên \( x \): Ta cần chứng minh \( P(x) \equiv 0 \pmod{6} \) với mọi số nguyên \( x \). Xét \( P(x) = 2x^4 - 7x^3 - 2x^2 + 13x + 6 \). Ta kiểm tra tính chia hết cho 2 và 3. Chia hết cho 2: - \( 2x^4 \equiv 0 \pmod{2} \) - \( -7x^3 \equiv x^3 \pmod{2} \) - \( -2x^2 \equiv 0 \pmod{2} \) - \( 13x \equiv x \pmod{2} \) - \( 6 \equiv 0 \pmod{2} \) Tổng các hạng tử: \[ 0 + x^3 + 0 + x + 0 \equiv x^3 + x \equiv x(x^2 + 1) \equiv 0 \pmod{2} \] Chia hết cho 3: - \( 2x^4 \equiv 2x^4 \pmod{3} \) - \( -7x^3 \equiv 2x^3 \pmod{3} \) - \( -2x^2 \equiv x^2 \pmod{3} \) - \( 13x \equiv x \pmod{3} \) - \( 6 \equiv 0 \pmod{3} \) Tổng các hạng tử: \[ 2x^4 + 2x^3 + x^2 + x \equiv 2(x^4 + x^3) + x^2 + x \equiv 0 \pmod{3} \] Vậy \( P(x) \equiv 0 \pmod{6} \) với mọi số nguyên \( x \). Kết luận: \( P(x) \) chia hết cho 6 với mọi số nguyên \( x \).