cho ∆abc vuông tại a , đường cao ah. gọi d,e lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ h đến ab, ac
a) chứng minh ah = de
b) gọi I là trung điểm của HB, k là trung điểm của hc . chứng minh dI // với ek

Question

cho ∆abc vuông tại a , đường cao ah. gọi d,e lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ h đến ab, ac 
a) chứng minh ah = de 
b) gọi I là trung điểm của HB, k là trung điểm của hc . chứng minh dI // với ek

Timi · Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh $ AH = DE $

Cho tam giác $ \triangle ABC $ vuông tại $ A $, đường cao $ AH $. Gọi $ D, E $ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $ H $ đến $ AB, AC $.

- Xét hai tam giác vuông $ \triangle AHD $ và $ \triangle AHE $:
  - $ \angle AHD = \angle AHE = 90^\circ $ (do $ D, E $ là chân đường vuông góc từ $ H $).
  - $ AH $ là cạnh chung của hai tam giác.

Do đó, hai tam giác $ \triangle AHD $ và $ \triangle AHE $ có hai góc vuông và cạnh chung, nên chúng đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (AA).

- Từ sự đồng dạng này, ta có:
  $$
  \frac{AD}{AH} = \frac{AH}{AE}
  $$
  Suy ra:
  $$
  AD \cdot AE = AH^2
  $$

- Xét hai tam giác vuông $ \triangle HDE $ và $ \triangle AHE $:
  - $ \angle HDE = \angle AHE = 90^\circ $ (do $ D, E $ là chân đường vuông góc từ $ H $).
  - $ HE $ là cạnh chung của hai tam giác.

Do đó, hai tam giác $ \triangle HDE $ và $ \triangle AHE $ cũng đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (AA).

- Từ sự đồng dạng này, ta có:
  $$
  \frac{HD}{HE} = \frac{AH}{HE}
  $$
  Suy ra:
  $$
  HD \cdot HE = AH^2
  $$

- Từ hai kết quả trên, ta có:
  $$
  AD \cdot AE = HD \cdot HE = AH^2
  $$

- Do đó, $ AH = DE $.

b) Chứng minh $ DI \parallel EK $

Gọi $ I $ là trung điểm của $ HB $, $ K $ là trung điểm của $ HC $.

- Xét hai tam giác $ \triangle HBD $ và $ \triangle HCE $:
  - $ \angle HBD = \angle HCE = 90^\circ $ (do $ D, E $ là chân đường vuông góc từ $ H $).
  - $ \angle BHD = \angle CHE $ (cùng phụ với góc $ \angle AHB $ và $ \angle AHC $).

Do đó, hai tam giác $ \triangle HBD $ và $ \triangle HCE $ đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc (AA).

- Từ sự đồng dạng này, ta có:
  $$
  \frac{HD}{HB} = \frac{HE}{HC}
  $$

- Vì $ I $ là trung điểm của $ HB $ và $ K $ là trung điểm của $ HC $, ta có:
  $$
  HI = \frac{1}{2}HB, \quad HK = \frac{1}{2}HC
  $$

- Do đó, tỉ số:
  $$
  \frac{HI}{HK} = \frac{\frac{1}{2}HB}{\frac{1}{2}HC} = \frac{HB}{HC}
  $$

- Từ đó, ta có:
  $$
  \frac{HD}{HE} = \frac{HI}{HK}
  $$

- Theo định lý Thales đảo, ta suy ra $ DI \parallel EK $.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được $ DI \parallel EK $.

cho ∆abc vuông tại a , đường cao ah. gọi d,e lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ h đến ab, ac a) chứng minh ah = de b) gọi I là trung điểm của HB, k là trung điểm của hc . chứng minh dI // với ek