Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD lần lượt tại H và tại K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 1. Chứng minh \(AH \parallel CK\): - Do \(AH \perp BD\) và \(CK \perp BD\), nên \(AH\) và \(CK\) cùng vuông góc với \(BD\). - Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Vậy \(AH \parallel CK\). 2. Chứng minh \(AH = CK\): - Trong hình bình hành \(ABCD\), hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, \(H\) và \(K\) là trung điểm của \(AH\) và \(CK\) tương ứng. - Vì \(AH\) và \(CK\) là các đoạn thẳng vuông góc từ các đỉnh của hình bình hành đến đường chéo, và hình bình hành có tính chất đối xứng qua đường chéo, nên \(AH = CK\). 3. Chứng minh \(AK \parallel CH\): - Tương tự như trên, do \(AH \parallel CK\) và \(AH = CK\), nên \(AK\) và \(CH\) cũng song song với nhau. 4. Chứng minh \(AK = CH\): - Từ tính chất của hình bình hành, các đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện là bằng nhau. Do đó, \(AK = CH\). Từ các bước trên, ta có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau: \(AH \parallel CK\), \(AH = CK\), \(AK \parallel CH\), và \(AK = CH\). Do đó, tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành.