Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Question

Accepted Answer

Để xác định tứ giác $BEDC$ là hình gì, ta cần phân tích các đặc điểm của các điểm và đường trong tam giác $ABC$ cân tại $A$.

1. Tính chất của tam giác cân:
   - Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có nghĩa là $AB = AC$.
   - Đường trung tuyến $BM$ và $CN$ trong tam giác cân cũng là các đường phân giác và đường cao.

2. Tính chất của điểm $G$:
   - $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, do đó $G$ chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ $2:1$, tức là $BG = \frac{2}{3}BM$ và $CG = \frac{2}{3}CN$.

3. Xác định điểm $D$ và $E$:
   - $D$ là điểm đối xứng với $G$ qua $M$, do đó $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $GD$.
   - $E$ là điểm đối xứng với $G$ qua $N$, do đó $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $GE$.

4. Xét tứ giác $BEDC$:
   - Do $M$ là trung điểm của $GD$ và $N$ là trung điểm của $GE$, nên $GD = 2GM$ và $GE = 2GN$.
   - Từ đó, ta có $BD = 2BG$ và $CE = 2CG$.

5. Chứng minh tứ giác $BEDC$ là hình bình hành:
   - Ta cần chứng minh rằng $BE$ song song và bằng $DC$, và $BC$ song song và bằng $ED$.
   - Do $BG = \frac{2}{3}BM$ và $CG = \frac{2}{3}CN$, nên $BD = 2BG = \frac{4}{3}BM$ và $CE = 2CG = \frac{4}{3}CN$.
   - Vì $BM = CN$ (do tam giác cân tại $A$), nên $BD = CE$.
   - Tương tự, do đối xứng qua $M$ và $N$, ta có $BE = DC$.

6. Kết luận:
   - Tứ giác $BEDC$ có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, do đó $BEDC$ là một hình bình hành.

Vậy, tứ giác $BEDC$ là hình bình hành.