Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF. Chứng minh:

a) Hai tam giác ADF và BAE bằng nhau;

b) BE vuông góc với AF.

Question

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AD, DC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho AE = DF. Chứng minh:

a) Hai tam giác ADF và BAE bằng nhau;

b) BE vuông góc với AF.

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh hai tam giác ADF và BAE bằng nhau:

1. Xét tam giác ADF và tam giác BAE:

- Ta có $ AE = DF $ (giả thiết).
   - $ AD = AB $ (vì ABCD là hình vuông, các cạnh bằng nhau).
   - Góc $ \angle DAF = \angle BAE $ (vì cùng bằng $ 90^\circ $, do AD và AB là các cạnh của hình vuông).

2. Kết luận:

- Theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), hai tam giác ADF và BAE bằng nhau: $ \triangle ADF \equiv \triangle BAE $.

b) Chứng minh BE vuông góc với AF:

1. Xét tam giác ADF và tam giác BAE đã chứng minh bằng nhau:

- Từ $ \triangle ADF \equiv \triangle BAE $, suy ra $ AF = BE $.

2. Xét tứ giác ABEF:

- Ta có $ \angle DAF = \angle BAE = 90^\circ $ (vì là góc của hình vuông).
   - Do đó, tứ giác ABEF có hai góc đối diện là góc vuông.

3. Kết luận:

- Tứ giác ABEF là hình chữ nhật (vì có hai góc đối diện bằng $ 90^\circ $).
   - Trong hình chữ nhật, các đường chéo vuông góc với nhau.
   - Do đó, $ BE $ vuông góc với $ AF $.

Vậy, ta đã chứng minh được hai yêu cầu của bài toán.